Unity中Shader 齐次坐标

前言

在之前的文章中，我们进行了正交相机视图空间转化到裁剪空间的推导。

• Unity中Shader裁剪空间推导（在Shader中实现）

在这篇文章中，我们进行透视相机视图空间转化到裁剪空间的推导的前置准备——齐次坐标是什么。

一、什么是齐次坐标

齐次坐标：就是将一个原本是 n 维的向量 用一个n + 1维向量来表示

二、齐次坐标增加分量 w 的意义

• (x,y,z) -> (x,y,z,w)

1、当 w $\ne$ 0时：

可以把式子化简为 (x/w,y/w,z/w,1)

用(1,2,3)为例，以下式子都是等价的:

• (1,2,3)
• (1,2,3,1)
• (2,4,6,2)
• (3,6,9,3)
• (……)

2、当 w = 0时：

(x,y,z,0)表示的是一个无穷远的点

3、用方程组，直观的看一下w的意义

• Ax + By + C = 0(不动的那条线)
• Ax + By + D = 0(下面移动的那条线)

1. 若 C $\ne$ D，则方程无解
2. 若 C = D，则表示的是同一直线
   
3. 此时，我们使用$\frac{x}{w}代替x$,$\frac{y}{w}代替y$

• $A\frac{x}{w}+B\frac{y}{w}+C=0$
• $A\frac{x}{w}+B\frac{y}{w}+D=0$

->

• $Ax+By+Cw=0$
• $Ax+By+Dw=0$

若C$\ne$D，则有唯一解(x,y,0)
若w = 0，表示的点是无穷远处