【PID学习笔记11】连续系统的数字PID

写在前面

从本文开始将一块学习数字PID控制及其MATLAB仿真。本文重点介绍连续系统的数字PID控制仿真。

一、数字PID总览

基于刘金琨编著的《先进PID控制MATLAB仿真（第4版）》参考文献内容，我们一起学习以下数字式PID控制。

二、连续系统的数字PID控制仿真

2.1 连续系统的数字PID控制方法

• 本方法可实现D/A及A/D的功能，符合数字实时控制的真实情况，计算机及DSP的实时PID控制都属于这种情况。
• 连续系统的PID算法为：

$$u(t)=k_p(e+\frac{1}{T_i}{\int }_0^{t}edt+T_d\frac{de}{dt})$$

其中，$K_p$ 为比例系数，$T_i$ 为积分时间常数，$T_d$ 为微分时间常数，$e(t)$ 为偏差，$u(t)$ 为控制量。

• 对此式进行拉普拉斯变换，得到模拟（连续系统）PID调节器的传递函数：

$$D(s)=\frac{U(s)}{E(s)}=K_p(1+\frac{1}{T_i}+T_{d}s)$$

2.2 连续系统的数字PID控制的MATLAB仿真

• 模拟PID控制系统框图如图所示：

• 假设其中G(s)为二阶负反馈控制系统的传递函数为：

$$G(s)=\frac{2}{(3s+1)(2s+1)}$$

1. 单 P 控制仿真

• 输出与输入偏差成比例，即直接将误差信号放大或者缩小。比例控制的传递函数为：

  $$G(s)=K_p$$

• 取不同的比例系数，绘制系统的单位阶跃响应曲线：

• 结论：从图中可以看出，随着 $K_p$ 值的增大，系统响应速度加快，但系统的超调量随着增加，调节时间也随着增长。当 $K_p$ 增大到一定值后，闭环系统将趋于不稳定，存在稳态误差。增大比例系数可提高系统的开环增益，减小系统的稳态误差，从而提高系统的控制精度，但这会降低系统的相对稳定性，甚至可能造成闭环系统的不稳定。因此，在系统设计中，比例控制一般不单独使用。

2. PD 控制仿真

• 输出与输入偏差的微分成比例，即与偏差的变化速度成正比例。微分控制与比例控制同时使用的传递函数为：
  $$G(s)=K_p(1+T_{d}s)$$

• 取不同的微分系数，绘制系统的单位阶跃响应曲线：

• 结论：随着 $T_d$ 值的增大，系统超调量逐渐减小，动态特征有改善。

自动控制系统在克服误差的调节过程中，可能会出现振荡甚至不稳定。原因是存在有较大惯性或有滞后的组件，其具有抑制误差的作用，其变化总是落后于误差的变化。在控制器中仅引入比例项是不够的，比例项的作用仅是放大误差的幅值，而微分项能预测误差的变化趋势。这样，具有比例+微分的控制器，就能提前使抑制误差的控制作用等于零，甚至为负值，从而避免被控量的严重超调，改善动态特性。

微分控制反映误差的变化率，只有当误差随时间变化时，微分控制才会对系统起作用，而对无变化或缓慢变化的对象不起作用。另外，微分控制对纯滞后环节不能起到改善控制品质的作用，反而具有放大高频噪声信号的缺点。

3. PI 控制仿真

• 输出与输入偏差的积分成比例，即与偏差的积累成比例。积分控制与比例控制同时使用的传递函数为：

$$G(s)=K_p(1+\frac{1}{T_i}\ast \frac{1}{s})$$

• 取不同的积分系数，绘制系统的单位阶跃响应曲线：
  

• 结论：加入积分控制后，消除了系统稳态误差，但随着Ti值的增大，达到稳态的过渡时间也逐渐加长。

积分项对误差取决于时间的积分，随着时间的增加，积分项会增大。这样，即使误差很小，积分项也会随着时间的增加而加大，它推动控制器的输出增大，使稳态误差进一步减小，直到等于零，但会使系统稳定性降低，稳定时间加长。

4. PID 控制仿真

• 传递函数为：

$$G(s)=K_p(1+\frac{1}{T_i}+T_{d}s)$$

• 取适当的比例、积分、微分系数，绘制系统的单位阶跃响应曲线：

• 结论：PID控制通过积分作用消除误差，而微分控制可缩小超调量、加快系统响应，是综合了PI控制和PD控制长处并去除其短处的控制。

2.3 对PID参数的简单理解