Peter算法小课堂—简单建模（3）

国王的奖赏系列

国王的奖赏1

题目描述：

你作为战斗英雄得到国王的奖赏，可以在地图上选一块土地。地图里共n*m格土地，第x行第y列的土地格子里标记着d[x][y]的整数价值，可能出现负数。国王让你选择若干列土地，只要是连续的几列土地，你就可以都收入囊中。求你选的土地总价值最大能是多少？当然如果最大值是负数，请输出0

这道题请仔细看标红的地方，这是易错点。当然如果你看到了这几个字，在你没有思路的情况下，也可以骗一点分。读完题目，思考样例，不出意外的话你已经发现了……最大连续子序列和

最大连续子序列和有的小彭友不会，Peter算法小课堂—DP的应用-CSDN博客

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1000;
int d[N][N],clmn[N],f[N],n,m;
int main(){
	freopen("reward1.in","r",stdin);
	freopen("reward1.out","w",stdout);
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++){
			cin>>d[i][j];
		}
	}
	for(int j=1;j<=m;j++){
		for(int i=1;i<=n;i++){
			clmn[j]+=d[i][j];
		}
	}
	for(int i=1;i<=m;i++) f[i]=max(f[i-1],0)+clmn[i];
	cout<<max(0,*max_element(f+1,f+1+m));
	return 0;
}

 国王的奖赏2

题目描述：

你作为战斗英雄得到国王的奖赏，可以在地图上选一块土地。地图里共n*m格土地，坐标为(x,y)格子里标记着d[x][y]的整数价值。你可以选择任意的长方形土地块，收入囊中，求你选的土地总价值最大能是多少？当然如果最大值是负数，请输出0

这道题实际上就是最大子矩阵和问题，这个算法复杂度最多n^4，我们一步一步优化。

O(n^4)

那么……二维前缀和怎么算呢？

容斥原理解决😀

那么，随便一块长方形怎么算呢？

代码来咯

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=500;
int s[N][N],d[N][N],n,m,ans;
int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++){
			cin>>d[i][j];
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++){
			s[i][j]=d[i][j]+s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1];
		}
	}
	for(int r1=1;r1<=n;r1++){
		for(int r2=r1;r2<=n;r2++){
			for(int c1=1;c1<=m;c1++){
				for(int c2=c1;c2<=m;c2++){
					ans=max(ans,s[r2][c2]+s[r1-1][c1-1]-s[r2][c1-1]-s[r1-1][c2]);
				}
			}
		}
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}

 O(n^3)

枚举行数+最大子段和

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=500;
int x[N][N],d[N][N],f[N],n,m,ans;
int main(){
	freopen("reward2.in","r",stdin);
	freopen("reward2.out","w",stdout);
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++){
			cin>>d[i][j];
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++){
			x[i][j]=x[i-1][j]+d[i][j];
		}
	}
	for(int r1=1;r1<=n;r1++){
		for(int r2=r1;r2<=n;r2++){
			for(int j=1;j<=m;j++){
				ans=max(ans,f[j]=max(f[j-1],0)+x[r2][j]-x[r1-1][j]);
			}
		}
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}

国王的奖赏3

题目描述：

僵尸大战你立下战功，你作为战斗英雄得到国王的奖赏，可以在一排n件绝世珠宝里挑选若干个。从左往右数第i个珠宝价值p[i]。

“你作为我国战斗英雄，本王不会亏待你！这里的宝贝你看看有喜欢的吗？挑两批带回家给你老婆吧。”国王豪爽地介绍着。

听完国王的话，你在思考“挑两批”这三个字的含义。说实话你也不敢多拿，怕遭人白眼。要不这样吧，你就挑2段：每一段至少1个珠宝，最多k个珠宝；这2段要分开，不能相邻。请问你拿走的珠宝最多价值多少？

技巧：遇到一个简单问题要分两次独立不重叠做时，可枚举分割点

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=500;
int x[N],s[N],t[N],f[N],g[N],n,ans;
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>x[i];
	}
	s[0]=x[0]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) s[i]=s[i-1]+x[i];
	f[0]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int j=max(0,i-k);
		f[i]=max(f[i-1],s[i]-s[j]);
	}
	t[n+1]=x[n+1]=0;
	for(int i=n;i>=1;i--) t[i]=t[i+1]+x[i];
	g[n+1]=0;
	for(int i=n;i>=1;i--){
		int j=min(n+1,i+k);
		g[i]=max(g[i+1],t[i]-t[j]);
	}
	for(int i=1;i<=n-2;i++) ans=max(ans,f[i]+g[i+2]);
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}

希望这些对大家有用，三连必回