《算法通关村——透彻理解动态规划》

《算法通关村——透彻理解动态规划》

62. 不同路径

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：

输入：m = 3, n = 3
输出：6

提示：

• 1 <= m, n <= 100
• 题目数据保证答案小于等于 2 * 109

题解

前面两种方法是不会通过的，因为使用了递归时间超额。

1

public class uniquePaths {
   
    public int uniquePaths (int m, int n) {
   
        return search(m,n);     
    }
    public int search(int m,int n){
    
        if(m==1 || n==1){
   
            return 1;
        }
        return search(m-1,n)+search(m,n-1);
    }
}

2

class Solution {
   
    public int uniquePaths(int m, int n) {
   
        int [][] result = new int[m+1][n+1];
        for(int i = 1;i<=m;i++){
   
            result[i][1] = 1;
        }
        for(int i = 1;i<=n;i++){
   
            result[1][i] = 1;
        }
        return search(m,n,result);
    }
    public int search(int m,int n,int[][] result){
   
        if(result[m][n] != 0){
   
            return result[m][n];
        }
        return search(m-1,n,result) + search(m,n-1,result);
    }
}

3

class Solution {
   
    public int uniquePaths(int m, int n) {
   
        int [][] result = new int[m+1][n+1];
        for(int i = 1;i<=m;i++){
   
            result[i][1] = 1;
        }
        for(int i = 1;i<=n;i++){
   
            result[1][i] = 1;
        }
        for(int i = 2 ;i <= m;i++){
   
            for(int j = 2 ; j <= n ;j++){
   
                result[i][j] = result[i-1][j] + result[i][j-1];
            }
        }
        return result[m][n];
    }
}

4

class Solution {
   
    public int uniquePaths(int m, int n) {
   
        int[] dp = new int[n];
        Arrays.fill(dp,1);
        for(int i = 1;i<m;i++){
   
            for(int j = 1;j<n ;j++){
   
                dp[j] = dp[j] + dp[j-1];
            }
        }
        return  dp[n-1];
    }
}

64. 最小路径和

给定一个包含非负整数的 *m* x *n* 网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

**说明：**每次只能向下或者向右移动一步。

示例 1：

输入：grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
输出：7
解释：因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

示例 2：

输入：grid = [[1,2,3],[4,5,6]]
输出：12

提示：

• m == grid.length
• n == grid[i].length
• 1 <= m, n <= 200
• 0 <= grid[i][j] <= 200

题解

class Solution {
    public int minPathSum(int[][] grid) {
        int[][] result = new int[grid.length][grid[0].length];
        int m = grid.length;
        int n = grid[0].length;
        result[0][0] = grid[0][0];
        // 初始化
        for(int i = 1;i<m;i++){
            result[i][0] = grid[i][0] + result[i-1][0];
        }
        for(int i = 1;i<n;i++){
            result[0][i] = grid[0][i] + result[0][i-1];
        }
        for(int i = 1;i<m;i++){
            for(int j = 1;j<n;j++){
                result[i][j] = Math.min(result[i-1][j],result[i][j-1]) + grid[i][j];
            }
        }
        return result[m-1][n-1];
    }
}

public int minPathSum(int[][] grid) {        
    int m = grid.length, n = grid[0].length;
    int[][] f = new int[m][n];
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            if (i == 0 && j == 0) {
                f[i][j] = grid[i][j];
            } else {
                int top  = i - 1 >= 0 ? f[i - 1][j] + grid[i][j] : Integer.MAX_VALUE;
                int left = j - 1 >= 0 ? f[i][j - 1] + grid[i][j] : Integer.MAX_VALUE;
                f[i][j] = Math.min(top, left);
            }
        }
    }
    return f[m - 1][n - 1];
}

120. 三角形最小路径和

给定一个三角形 triangle ，找出自顶向下的最小路径和。

每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。相邻的结点 在这里指的是 下标 与 上一层结点下标 相同或者等于 上一层结点下标 + 1 的两个结点。也就是说，如果正位于当前行的下标 i ，那么下一步可以移动到下一行的下标 i 或 i + 1 。

示例 1：

输入：triangle = [[2],[3,4],[6,5,7],[4,1,8,3]]
输出：11
解释：如下面简图所示：
   2
  3 4
 6 5 7
4 1 8 3
自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。

示例 2：

输入：triangle = [[-10]]
输出：-10

提示：

• 1 <= triangle.length <= 200
• triangle[0].length == 1
• triangle[i].length == triangle[i - 1].length + 1
• -104 <= triangle[i][j] <= 104

题解

class Solution {
   
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
   
        int n = triangle.size();
        int ans = Integer.MAX_VALUE;
        int[][] f = new int[n][n];
        f[0][0] = triangle.get(0).get(0);
        for(int i = 1 ;i < n;i++){
   
            for(int j = 0;j<i+1;j++){
   
                int val = triangle.get(i).get(j);
                f[i][j] = Integer.MAX_VALUE;
                if( j != 0){
   
                    f[i][j] = Math.min(f[i][j],f[i-1][j-1] + val);
                }
                if( j!= i){
   
                    f[i][j] = Math.min(f[i][j],f[i-1][j] + val);
                }
            }
        }
        for(int i = 0 ; i < n;i++){
   
            ans = Math.min(ans,f[n-1][i]);
        }
        return ans;
    }
}

理解动态规划

经过上面这么多例子，我们终于可以完整的分析什么是动态规划了。

首先，DP能解决哪类问题？直观上，DP一般是让找最值的，例如最长公共子序列等等，但是最关键的是DP问题的子问题不是相互独立的，如果递归分解直接分解会导致重复计算指数级增长(想想前面的热身题)。而DP最大的价值是为了消除冗余，加速计算。

其次，严格来说，DP要满足「有无后效性」，也就是能进行“狗熊掰棒子，只管当下，不管之前”，对于某个状态，我们可以只关注状态的值，而不需要关注状态是如何转移过来的话，满足该要求的可以考虑使用 DP 解决。 为了理解这一点，我们来看一下这个问题：

上面路径的问题，从左上角走到右下角，我们设置两个问题，请问哪个是动态规划问题：

A 求有多少种走法 B 输出所有的走法

我们说动态规划是无后向型的，只记录数量，不管怎么来的，因此A是DP问题，而B不能用DP。如果你理解上一章回溯的原理的话，就知道回溯可以记录所有的路径，因此B是个回溯的问题。

回溯：能解决，但是解决效率不高

DP：计算效率高，但是不能找到满足要求的路径。

因此区分动态规划和回溯最重要的一条是： 动态规划只关心当前结果是什么，怎么来的就不管了，所以动态规划无法获得完整的路径，这与回溯不一样，回溯能够获得一条甚至所有满足要求的完整路径。

DP的基本思想是将待求解问题分解成若干个子问题，先求子问题，再从这些子问题中得到原问题的解。既然要找“最”值那必然要做的就是穷举来找所有的可能，然后选择“最”的那个，这就是为什么在DP代码中大量判断逻辑都会被套上min()或者max()，而这也是导致DP看起来很难的原因之一。

接下来，既然穷举，那为啥还要有DP的概念？这是因为穷举过程中存在大量重复计算，效率低下，所以我们要使用记忆化搜索等方式来消除不必要的计算，所谓的记忆化搜索就是将已经计算好的结果先存在数组里，后面直接读就不再重复计算了。

接下来，既然记忆化能解决问题，为啥DP这么难，因为DP问题一定具备“最优子结构”，这样才能让记忆时得到准确的结果。至于什么是最优子结构，我们还是要等后面具体问题再看。

接下来，有了最优子结构之后，我们还要写出正确的“状态转移方程”，才能正确的穷举。也就是递归关系，但是在DP里，大部分递推都可以通过数组实现，因此看待的代码结构一般是这样的for循环，这就是DP代码的基本模板：

//   初始化base case，也就是刚开始的几种场景 ，有几种枚举几种
dp[0][0][...]=base case
//  进行状态转移
for 状态1 状态1的所有取值
   for 状态2 in 状态2的所有取值
     for ....
       dp[状态1][状态2][...]=求最值Max(选择1，选择2,...)

我们一般写的动态规划只有一两层，不会太深，因此你会发现动态规划的代码特别简洁。

动态规划的常见类型也比较多，从形式上看，有坐标型、序列型、划分型、区间型、背包型和博弈型等等。不过没必要刻意研究这些类型到底什么意思，因为解题基本思路是一致的。一般说来，动态规划题目有以下三种基本的类型：

1. 计数有关，例如求有多少种方式走到右下角，有多少种方式选出K个数使得***等等，而不关心具体路径是什么。
2. 求最大最小值，最多最少等等，例如最大数字和、最长上升子序列长度、最长公共子序列、最长回文序列等等。
3. 求存在性，例如取石子游戏，先手是否必胜；能不能选出K个数使得**等等。

但是不管哪一种解决问题的模板也是类似的，都是：

• 第一步：确定状态和子问题，也就是枚举出某个位置所有的可能性，对于DP，大部分题目分析最后一步更容易一些，得到递推关系，同时将问题转换为子问题。
• 第二步：确定状态转移方程，也就是数组要存储什么内容。很多时候状态确定之后，状态转移方程也就确定了，因此我们也可以将第一二步作为一个步骤。
• 第三步：确定初始条件和边界情况，注意细心，尽力考虑周全。
• 第四步：按照从小到大的顺序计算：f[0]、f[1]、f[2]…

虽然我们计算是从f[0]开始，但是对于大部分的DP问题，先分析最后一个往往更有利于寻找状态表达式，因此我们后面的问题基本都是
从右向左找递归，从左向右来计算

这个也是我们分析DP问题的核心模板。

上面的模板，用大白话就是：我们要自始至终，都要在大脑里装一个数组，要看这个数组每个元素表示的含义是什么，要看每个数组位置是根据谁来算的，然后就是从小到大挨着将数组填满，最后看哪个位置是我们想要的结果。

再详细一点的解释：

我们要自始至终，都要在大脑里装一个数组**（可能是一维，也可能是二维），要看这个数组每个元素表示的含义是什么（也就是状态），要看每个数组位置是根据谁来算的(状态转移方程)**，然后就是从小到大挨着将数组填满(从小到大计算,实现记忆化搜索)，最后看哪个位置是我们想要的结果。