QR正交角分解法算法及其Python实现

QR正交角分解法算法及其Python实现

QR正交角分解法（QR orthogonal triangularization method）是一种用于计算矩阵的特征值和特征向量的数值方法。本文将介绍QR正交角分解法的原理，并提供Python代码实现。

原理概述

QR正交角分解法是一种迭代方法，用于将一个矩阵分解为正交矩阵和上三角矩阵的乘积。该方法的基本思想是通过一系列的正交相似变换，将原始矩阵迭代地转化为上三角矩阵。

设 A 为一个 n × n 的矩阵，QR正交角分解法的迭代过程如下：

1. 初始化 A0 = A。
2. 对于 k = 0, 1, 2, …，执行以下步骤：
   • 计算 Ak 的QR分解：Ak = Qk * Rk，其中 Qk 是正交矩阵，Rk 是上三角矩阵。
   • 计算 Ak+1 = Rk * Qk。

当迭代收敛时，Ak 逐渐变为上三角矩阵。上三角矩阵的对角线元素即为矩阵 A 的特征值，而对应的 Q 矩阵的列向量即为矩阵 A 的特征向量。

Python实现

下面是使用 Python 实现 QR 正交角分解法的代码：

import numpy as np

def qr_decomposition