【矩阵论】Chapter 7—Hermite矩阵与正定矩阵知识点总结复习

1 Hermite矩阵

• 定义

  设$A$为$n$阶方阵，如果称$A$为Hermite矩阵，则需满足$A^H=A$，其中$A^H$表示$A$的共轭转置，也称Hermite转置，具体操作如下：

  1. 将矩阵的每个元素取共轭。对于复数$a+bi$，它的共轭是$a-bi$，其中$a$和$b$ 是实部和虚部
  2. 将矩阵的行和列互换

  Hermite矩阵与实对称矩阵的性质和证明方法都十分相似

• Hermite矩阵性质

  若$A,B$为$n$阶Hermite矩阵，则

  1. $A$的所有特征值全是实数
  2. $A$的不同特征值所对应的特征向量是相互正交的
  3. 对正整数$k$，$A^k$也是Hermite矩阵
  4. 若$A$可逆，则$A^{-1}$也是Hermite矩阵
  5. 对实数$k,p,kA+pB$也是Hermite矩阵

• Hermite矩阵充分必要条件

  设$A\in C^{n\times n},B\in C^{n\times n}$

  1. $A$是Hermite矩阵的充要条件是存在酉矩阵$U$使得
     $$U^{H}AU=\Lambda =diag({\lambda }_1,...,{\lambda }_n)$$
     其中${\lambda }_1,...,{\lambda }_n$均为实数。实对称矩阵则是存在正交矩阵$U...$

  2. A是Hermite矩阵的充要条件是对任意方阵$S$，$S^{H}AS$是Hermite矩阵

  3. 如果$A,B$是Hermite阵，则$AB$是Hermite矩阵的充要条件是$AB=BA$

• 相合标准形

  设$A$为$n$阶Hermite矩阵，则$A$相合矩阵
  $$D_0=\left(\begin{array}{ccc}{I}_s& 0& 0\\ 0& -I_{r-s}& 0\\ 0& 0& O_{n-r}\end{array}\right)$$
  其中$r=rank(A)$，$s$是$A$的正特征值（重特征值按重数计算）的个数。矩阵$D_0$则称为$n$阶Hermite矩阵$A$的相合标准形。

• Sylvester惯性定律

  设$A,B$为$n$阶Hermite矩阵，则$A$与$B$相合的充要条件是
  $$In(A)=In(B)$$
  其中$In(A)$称为$A$的惯性， I n ( A ) = { π ( A ) , v ( A ) , δ ( A ) } In(A)=\{\pi(A),v(A),\delta(A)\} In(A)={ π(A),v(A),δ(A)}。其中$\pi (A)$,$v(A)$,$\delta (A)$分别表示$A$的正、负和零特征值的个数（重特征值按重数计算）。则$A$非奇异的充要条件为$\delta (A)=0$且$\pi (A)+v(A)=rank(A)$。

2 Hermite二次型

• Hermite二次型定义

  由$n$个复变量$x_1,...,x_n$，系数为负数的二次齐式
  $$f(x_1,...,x_n)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{ij}\overline{x_i}\overline{x_j}$$
  其中$a_{ij}=a_{ji}$，称为Hermite二次型。Hermite二次型可写为$f(x)=x^{H}Ax$，我们称$A$的秩就为Hermite二次型的秩。

• Hermite二次型的标准形定理

  对Hermite二次型$f(x)=x^{H}Ax$，存在酉线性变换$x=Uy$（其中$U$是酉矩阵）使得Hermite二次型$f(x)$变成标准形（只包含平方项的二次型）
  $$f(x)={\lambda }_1\overline{y_1}{y}_1+...+{\lambda }_n\overline{y_n}{y}_n$$
  其中${\lambda }_1,...,{\lambda }_n$为$A$的特征值。

• Hermite二次型化标准形（酉线性变换）

  设$f(x)=x^{H}Ax$，其中$A$为$n$阶Hermite矩阵

  1. 求出二次型矩阵$A$的特征值${\lambda }_1,...{\lambda }_n$和特征向量$v_1,...,v_n$，并将特征向量$v_1,...,v_n$规范正交

  2. 令$U=(v_1,...,v_n),x=Uy$，则
     $$\begin{gathered} f(x)=(Uy{)}^{H}A(Uy)=y^H{U}^{H}AUy=y^H(U^{H}AU)y \\ =y^H\Lambda y={\lambda }_1|y_1{|}^2+...+{\lambda }_n|y_n{|}^2 \end{gathered}$$

• Hermite二次型规范形定理

  对二次型$f(x)=x^{H}Ax$，存在可逆线性变换$x=Py$使得Hermite二次型$f(x)$化为

$$f(x)=\overline{y_1}{y}_1+...+\overline{y_s}{y}_s-\overline{y_{s+1}}{y}_{s+1}-...-\overline{y_r}{y}_r$$

其中$r=rank(A),s=\pi (A)$。上式则为Hermite二次型$f(x)$的规范形，其中$s$和$(r-s)$分别称为Hermite二次型的正惯性指数和负惯性指数。

• 二次型化规范形

  设$f(x)=x^{H}Ax$，其中$A$为$n$阶Hermite矩阵

  1. 将二次型化为标准形，得到标准形$f(x)=y^H\Lambda y$和酉矩阵$U$

  2. 将对角线元素提取出来，即只保留${\lambda }_i$的正负性，则
     $$\begin{gathered} f(x)=y^H\Lambda y=y^H({\Lambda }_1{D}_0{\Lambda }_1)y=y^H({\Lambda }_1^H{D}_0{\Lambda }_1)y \\ =({\Lambda }_{1}y{)}^H{D}_0({\Lambda }_{1}y) \end{gathered}$$
     其中${\Lambda }_1$为对角矩阵，对角线元素为$\sqrt{|{\lambda }_i}|(1\le i\le n)$。

  3. 令$y={\Lambda }_1^{-1}z$，则
     $$\begin{gathered} f(x)=({\Lambda }_1{\Lambda }_1^{-1}z{)}^H{D}_0({\Lambda }_1{\Lambda }_1^{-1}z)=z^H{D}_{0}z \\ =\overline{z_1}{z}_1+...+\overline{z_s}{y}_s-\overline{z_{s+1}}{z}_{s+1}-...-\overline{z_r}{z}_r \end{gathered}$$

  4. 故$x=U{\Lambda }^{-1}z$，可逆矩阵$P=U{\Lambda }^{-1}$

• 正定相关概念

  设$f(x)=x^{H}Ax$为Hermite二次型

  1. 如果$f(x)>0$（等价$s=r=n$），则称$f(x)$为正定的；
  2. 如果$f(x)\ge 0$（等价$s=r<n$），则称$f(x)$为半正定（非负定的）的；
  3. 如果$f(x)<0$（等价$s=0,r=n$），则称$f(x)$为负定的；
  4. 如果$f(x)\le 0$（等价$s=0,r<n$），则称$f(x)$为半负定的；
  5. 如果$f(x)$有时为正有时为负（等价$0<s<r\le n$），则称$f(x)$为不定的；

3 Hermite正定（非负定矩阵）

• 定义

  根据Hermite二次型的正定（非负定）可以定义Hermite矩阵的正定（非负定）。

  设$A$为$n$阶Hermite矩阵，$f(x)=x^{H}Ax$

  1. 如果$f(x)>0$，则称$A$为正定的，记作$A>0$；
  2. 如果$f(x)\ge 0$，则称$A$为半正定（非负定的）的，记作$A\ge 0$；
  3. 如果$f(x)<0$，则称$A$为负定的，记作$A<0$；
  4. 如果$f(x)\le 0$，则称$A$为半负定的，记作$A\le 0$；
  5. 如果$f(x)$有时为正有时为负，则称$A$为不定的；

• 判断$n$阶Hermite矩阵$A$正定

  1. 通过正定矩阵的定义
  2. $A$的$n$个特征值均为正数
  3. $A$的顺序主子式${\Delta }_k=A\left(\begin{array}{ccc}1& \dots & k\\ 1& \dots & k\end{array}\right)>0,(k=1,...,n)$均为正数
  4. $A$的所有主子式全大于$0$
  5. 存在$n$阶非奇异下三角矩阵$L$，使得$A=L{L}^H$（该分解称为Cholesky分解）
  6. 存在$n$阶非奇异矩阵，使得$A=B^{H}B$
  7. 存在$n$阶非奇异Hermite矩阵$A=S^2$

• 判断$n$阶Hermite矩阵$A$半正定

  1. 通过半正定矩阵的定义
  2. $A$的$n$个特征值均为非负数
  3. $A$的所有主子式均非负

• 定理证明

  设$A,B$均为$n$阶Hermite矩阵，且$B>0$，则存在非奇异矩阵$P$使得
  $$P^{H}AP=diag({\lambda }_1,...,{\lambda }_n),P^{H}BP=I$$
  其中${\lambda }_1,...,{\lambda }_n$是广义特征值问题的特征值

  证明：

  $\because B>0$

  $\therefore $存在非奇异矩阵$P_1$使得$P_1^HBP_1=I$

  又$\because P_1^{H}A{P}_1$仍为Hermite矩阵

  $\therefore$酉矩阵$U$使得
  $$U^H(P_1^{H}A{P}_1)U=diag({\lambda }_1,...,{\lambda }_n)$$
  令$P=P_{1}U$

  $\because P$非奇异，根据定理$P^{H}BP=I$

  $$\begin{gathered} \therefore P^{H}BP=(P_{1}U{)}^{H}B(P_{1}U) \\ =U^H{P}_1^{H}B{P}_{1}U=I \end{gathered}$$

  又$\because P_1$非奇异，使得$P_1^{H}B{P}_1=I$

  $\therefore$
  $$\begin{gathered} P^{H}BP=U^H{P}_1^{H}B{P}_{1}U=U^H(P_1^{H}B{P}_1)U \\ =U^{H}IU=U^{H}U=I \end{gathered}$$
  $\therefore$
  $$P^{H}AP=U^H{P}_1^{H}A{P}_{1}U=diag({\lambda }_1,...,{\lambda }_n)$$
  $\therefore$我们可以对上式右乘$P^{-1}$和$B^{-1}$，得到
  $$\begin{gathered} P^{H}BP=I \\ {P}^H=P^{-1}{B}^{-1} \end{gathered}$$
  $\therefore$ 得到
  $$P^{-1}{B}^{-1}AP=diag({\lambda }_1,...,{\lambda }_n)$$
  即$B^{-1}A$相似于对角矩阵，故${\lambda }_1,...,{\lambda }_n$是矩阵$B^{-1}A$的特征值，即${\lambda }_1,...,{\lambda }_n)$是广义特征值问题的特征值。

  广义特征值问题$Ax=\lambda Bx$，左乘$B^{-1}$，即为$B^{-1}Ax=\lambda x$

4 矩阵不等式

• 定义

  设$A,B$都是$n$阶Hermite矩阵，如果$A-B\ge 0$则称$A$大于或等于$B$（或称$B$小于等于$A$），记作$A\ge B$（或$B\le A$），即$A-B$半正定；如果$A-B>0$，则称$A$大于$B$（或称$B$小于$A$），记作$A>B$（或$B<A$），即==$A-B$正定==。

• 性质

  设$A,B,C$均为$n$阶Hermite矩阵，则

  1. $A\ge B(A>B)⟺-A\le -B(-A<-B)⟺$对任意$n$阶可逆矩阵$P$都有$P^{H}AP\ge P^{H}BP(P^{H}AP>P^{H}BP)$
  2. 若$A>0(A\ge 0),C>0(C\ge 0)$，且$AC=CA$，则$AC>0(AC\ge 0)$
  3. 若$A>B$，$P$为$n\times m$列满秩矩阵，则$P^{H}AP>P^{H}BP$
  4. 若$A\ge B$，$P$为$n\times m$矩阵，则$P^{H}AP\ge P^{H}BP$

• 定理

  设$A,B$都是$n$阶Hermite矩阵，且$A\ge 0,B>0$，则

  1. $B\ge A$的充要条件是$\rho (A{B}^{-1})\le 1$
  2. $B>A$的充要条件是$\rho (A{B}^{-1})<1$

  设$A$是$n$阶Hermite矩阵，则${\lambda }_{min}(A)I\le A\le {\lambda }_{max}I$，这时${\lambda }_{min}$和${\lambda }_{max}$分别表示$A$的最大和最小特征值。

  设$A,B$均为$n$阶Hermite正定矩阵，则

  1. 若$A\ge B>0$，则$B^{-1}\ge A^{-1}>0$
  2. 若$A>B>0$，则$B^{-1}>A^{-1}>0$

  设$A,B$均为$n$阶Hermite正定矩阵，且$AB=BA$，则

  1. 若$A\ge B$，则$A^2\ge B^2$

     证明：$A^2-B^2=(A-B)(A+B)=(A+B)(A-B)$，易知$(A-B)\ge 0,A+B>0$，则克制

  2. 若$A\ge B$，则$A^2>B^2$

     同理得证

  设$A$是$m\times n$行满秩矩阵，$B$是$n\times k$矩阵，则
  $$B^{H}B\ge (AB{)}^H(A{A}^H{)}^{-1}(AB)$$
  等号成立当且仅当存在一个$m\times k$矩阵$C$使得$B=A^{H}C$