导数 f ′ f' f′ 对函数 f f f 的揭示
要了解导数 f ′ f' f′ 如何告诉我们一个函数是增加还是减少,请看图。似乎 f f f 在 f ′ ( x ) > 0 f'(x) > 0 f′(x)>0 时增加,而在 f ′ ( x ) < 0 f'(x) < 0 f′(x)<0 时减少。为了证明这种情况总是成立的,我们使用平均值定理。
增加/减少测试
(a) 如果 f ′ ( x ) > 0 f'(x) > 0 f′(x)>0 在某区间上,则 f f f 在该区间上是增加的。
(b) 如果 f ′ ( x ) < 0 f'(x) < 0 f′(x)<0 在某区间上,则 f f f 在该区间上是减少的。
证明
(a) 设 x 1 x_1 x1 和 x 2 x_2 x2 是区间内任意两个数,且 x 1 < x 2 x_1 < x_2 x1<x2。根据增加函数的定义,我们必须证明 f ( x 1 ) < f ( x 2 ) f(x_1) < f(x_2) f(x1)<f(x2)。
由于我们已知 f ′ ( x ) > 0 f'(x) > 0 f′(x)>0,所以我们知道 f f f 在 [ x 1 , x 2 ] [x_1, x_2] [x1,x2] 上是可导的。因此,根据平均值定理,存在一个 c c c 介于 x 1 x_1 x1 和 x 2 x_2 x2 之间,使得
f ( x 2 ) − f ( x 1 ) = f ′ ( c ) ( x 2 − x 1 ) f(x_2) - f(x_1) = f'(c)(x_2 - x_1) f(x2)−f(x1)=f′(c)(x2−x1)
现在,由于假设 f ′ ( c ) > 0 f'(c) > 0 f′(c)>0 且 x 2 − x 1 > 0 x_2 - x_1 > 0 x2−x1>0 因为 x 1 < x 2 x_1 < x_2 x1<x2。因此,方程的右侧为正,因此
f ( x 2 ) − f ( x 1 ) > 0 或 f ( x 1 ) < f ( x 2 ) f(x_2) - f(x_1) > 0 \quad 或 \quad f(x_1) < f(x_2) f(x2)−f(x1)>0或f(x1)<f(x2)
这表明 f f f 是增加的。
(b) 部分的证明类似。
例1 找出函数 ( f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 5 ) 的增区间和减区间。
解答
首先对 f f f 求导:
f ′ ( x ) = 12 x 3 − 12 x 2 − 24 x = 12 x ( x − 2 ) ( x + 1 ) f'(x) = 12x^3 - 12x^2 - 24x = 12x(x - 2)(x + 1) f′(x)=12x3−12x2−24x=12x(x−2)(x+1)
要使用增加/减少测试,我们需要知道 f ′ ( x ) > 0 f'(x) > 0 f′(x)>0 和 f ′ ( x ) < 0 f'(x) < 0 f′(x)<0 的区间。为了解这些不等式,我们首先找出 f ′ ( x ) = 0 f'(x) = 0 f′(x)=0 的点,即 x = 0 , 2 , − 1 x = 0, 2, -1 x=0,2,−1。这些是 f f f 的临界点,它们将定义域分成四个区间(见数轴)。在每个区间内, f ′ ( x ) f'(x) f′(x) 必须总是正或总是负。我们可以通过 f ′ ( x ) f'(x) f′(x) 的三个因子 12 x , x − 2 , x + 1 12x, x - 2, x + 1 12x,x−2,x+1 的符号来确定每个区间的情况,如下表所示。正号表示表达式为正,负号表示表达式为负。图表的最后一列根据增加/减少测试给出了结论。例如, 0 < x < 2 0 < x < 2 0<x<2 时 f ′ ( x ) < 0 f'(x) < 0 f′(x)<0,所以 f f f 在 ( 0 , 2 ) (0, 2) (0,2) 上减少。(同样也可以说 f f f 在闭区间 [ 0 , 2 ] [0, 2] [0,2] 上减少。)
Interval | 12 x 12x 12x | x − 2 x - 2 x−2 | x + 1 x + 1 x+1 | f ′ ( x ) f'(x) f′(x) | f f f |
---|---|---|---|---|---|
x < − 1 x < -1 x<−1 | - | - | - | - | 在 ( − ∞ , − 1 ) (-\infty, -1) (−∞,−1) 上减少 |
− 1 < x < 0 -1 < x < 0 −1<x<0 | - | - | + | + | 在 ( − 1 , 0 ) (-1, 0) (−1,0) 上增加 |
0 < x < 2 0 < x < 2 0<x<2 | + | - | + | - | 在 ( 0 , 2 ) (0, 2) (0,2) 上减少 |
x > 2 x > 2 x>2 | + | + | + | + | 在 ( 2 , ∞ ) (2, \infty) (2,∞) 上增加 |
f f f 的图形验证了表中的信息。
局部极值
回忆之前的内容,如果 f f f 在 c c c 处有局部最大值或最小值,那么 c c c 必须是 f f f 的一个临界点(根据费马定理),但并非每个临界点都能产生最大值或最小值。因此,我们需要一个测试来告诉我们 f f f 在某个临界点是否有局部最大值或最小值。
一阶导数测试
假设 c c c 是连续函数 f f f 的一个临界点。
(a) 如果 f ′ f' f′ 在 c c c 处从正变为负,那么 f f f 在 c c c 处有局部最大值。
(b) 如果 f ′ f' f′ 在 c c c 处从负变为正,那么 f f f 在 c c c 处有局部最小值。
(c) 如果 f ′ f' f′ 在 c c c 的左侧和右侧均为正,或在 c c c 的左侧和右侧均为负,那么 f f f 在 c c c 处没有局部最大值或最小值。
一阶导数测试是增加/减少测试的结果。例如,在(a)部分,由于 f ′ ( x ) f'(x) f′(x) 的符号在 c c c 处从正变为负,所以 f f f 在 c c c 的左侧增加,在 c c c 的右侧减少。因此, f f f 在 c c c 处有局部最大值。
通过可视化图形,很容易记住一阶导数测试。
例2 找出例1中函数 ( f ) 的局部最小值和最大值。
解答
从例1的解答中的图表中可以看出, f ′ ( x ) f'(x) f′(x) 在 − 1 -1 −1 处从负变为正,所以根据一阶导数测试, f ( − 1 ) = 0 f(-1) = 0 f(−1)=0 是局部最小值。同样, f ′ f' f′ 在2处从负变为正,所以 f ( 2 ) = − 27 f(2) = -27 f(2)=−27 也是局部最小值。如前所述, f ( 0 ) = 5 f(0) = 5 f(0)=5 是局部最大值,因为 f ′ ( x ) f'(x) f′(x) 在 0 0 0处从正变为负。
例3 找出函数 ( g(x) = x + 2 \sin x ) 在 ( 0 \leq x \leq 2\pi ) 内的局部最大值和最小值。
解答
如例1所示,我们首先找出临界点。导数为
g ′ ( x ) = 1 + 2 cos x g'(x) = 1 + 2 \cos x g′(x)=1+2cosx
因此,当 cos x = − 1 2 \cos x = -\frac{1}{2} cosx=−21 时, g ′ ( x ) = 0 g'(x) = 0 g′(x)=0。此方程的解为 2 π 3 \frac{2\pi}{3} 32π 和 4 π 3 \frac{4\pi}{3} 34π。因为 g g g 在整个定义域上可导,所以唯一的临界点是 2 π 3 \frac{2\pi}{3} 32π 和 4 π 3 \frac{4\pi}{3} 34π。我们根据临界点将定义域划分为区间。在每个区间内, g ′ ( x ) g'(x) g′(x) 要么始终为正,要么始终为负,因此我们分析如下图表:
Interval | g ′ ( x ) = 1 + 2 cos x g'(x) = 1 + 2 \cos x g′(x)=1+2cosx | g g g |
---|---|---|
0 < x < 2 π 3 0 < x < \frac{2\pi}{3} 0<x<32π | + | 在 ( 0 , 2 π 3 ) (0, \frac{2\pi}{3}) (0,32π) 上增加 |
2 π 3 < x < 4 π 3 \frac{2\pi}{3} < x < \frac{4\pi}{3} 32π<x<34π | - | 在 ( 2 π 3 , 4 π 3 ) (\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}) (32π,34π) 上减少 |
4 π 3 < x < 2 π \frac{4\pi}{3} < x < 2\pi 34π<x<2π | + | 在 ( 4 π 3 , 2 π ) (\frac{4\pi}{3}, 2\pi) (34π,2π) 上增加 |
因为 g ′ ( x ) g'(x) g′(x) 在 2 π 3 \frac{2\pi}{3} 32π 处从正变为负,所以根据一阶导数测试,在 2 π 3 \frac{2\pi}{3} 32π 处有局部最大值,其值为
g ( 2 π 3 ) = 2 π 3 + 2 sin 2 π 3 = 2 π 3 + 2 ( 3 2 ) = 2 π 3 + 3 ≈ 3.83 g\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{2\pi}{3} + 2 \sin \frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} + 2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{2\pi}{3} + \sqrt{3} \approx 3.83 g(32π)=32π+2sin32π=32π+2(23)=32π+3≈3.83
同样, g ′ ( x ) g'(x) g′(x) 在 4 π 3 \frac{4\pi}{3} 34π 处从负变为正,所以在 4 π 3 \frac{4\pi}{3} 34π 处有局部最小值,其值为
g ( 4 π 3 ) = 4 π 3 + 2 sin 4 π 3 = 4 π 3 + 2 ( − 3 2 ) = 4 π 3 − 3 ≈ 2.46 g\left(\frac{4\pi}{3}\right) = \frac{4\pi}{3} + 2 \sin \frac{4\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} + 2 \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{4\pi}{3} - \sqrt{3} \approx 2.46 g(34π)=34π+2sin34π=34π+2(−23)=34π−3≈2.46
g g g 的图形支持了我们的结论。
导数 f ′ ′ f'' f′′ 对函数 f f f 的揭示
图显示了两个在区间 ( a , b ) (a, b) (a,b) 上增加的函数的图像。两条曲线都从点 A A A 延伸到点 B B B,但由于它们的弯曲方向不同,图像看起来有所不同。我们如何区分这两种行为类型?
在下图中,这些曲线在几个点上画出了切线。在(a)中,曲线在切线之上,称为在 ( a , b ) (a, b) (a,b) 上向上凹。在(b)中,曲线在切线之下,称为在 ( a , b ) (a, b) (a,b) 上向下凹。
定义
如果函数 f f f 的图像在区间 I I I 上的所有切线之上,则称 f f f 在 I I I 上是向上凹的。如果函数 f f f 的图像在 I I I 上的所有切线之下,则称 f f f 在 I I I 上是向下凹的。
让我们看看二阶导数如何帮助确定凹性的区间。观察图(a),可以看到从左到右,切线的斜率增加。这意味着导数 f ′ f' f′ 是增加的函数,因此它的导数 f ′ ′ f'' f′′ 为正。同样,在图(b)中,切线的斜率从左到右减小,所以 f ′ f' f′ 减小,因此 f ′ ′ f'' f′′ 为负。这个推理可以反过来进行,并表明以下定理是正确的。
凹性测试
(a) 如果 f ′ ′ ( x ) > 0 f''(x) > 0 f′′(x)>0 在区间 I I I 上的所有 x x x,则函数 f f f 在 I I I 上是向上凹的。
(b) 如果 f ′ ′ ( x ) < 0 f''(x) < 0 f′′(x)<0 在区间 I I I 上的所有 x x x,则函数 f f f 在 I I I 上是向下凹的。
例4 图显示了在养蜂场饲养的塞浦路斯蜜蜂的种群图。种群增加率随时间如何变化?这种增加率何时最高?在什么区间内 ( P ) 是向上凹的还是向下凹的?
解答
通过观察曲线的斜率随时间 t t t 的变化,可以看出,最初种群的增加率非常小,然后变大,直到在大约 t = 12 t = 12 t=12 周时达到最大值,随后随着种群开始趋于平稳而减小。当种群接近其最大值约 75 , 000 75,000 75,000(称为承载能力)时,增加率 P ′ ( t ) P'(t) P′(t) 逐渐趋近于 0 0 0。曲线在 ( 0 , 12 ) (0, 12) (0,12) 上是向上凹的,在 ( 12 , 18 ) (12, 18) (12,18) 上是向下凹的。
在例4中,种群曲线在大约 ( 12 , 38 , 000 ) (12, 38,000) (12,38,000) 点从向上凹变为向下凹。这个点称为曲线的拐点。这个点的重要性在于此处种群增加率达到最大值。一般而言,拐点是曲线改变凹性方向的点。
定义
曲线 y = f ( x ) y = f(x) y=f(x) 上的点 P P P 称为拐点,如果函数 f f f 在该点是连续的,并且曲线在 P P P 处从向上凹变为向下凹或从向下凹变为向上凹。
注意,如果曲线在拐点处有切线,那么曲线在该点穿过其切线。根据凹性测试,二阶导数改变符号的任一点处都有拐点。
例5 画出满足以下条件的函数 f f f 的可能图像:
(i) f ( 0 ) = 0 f(0) = 0 f(0)=0, f ( 2 ) = 3 f(2) = 3 f(2)=3, f ( 4 ) = 6 f(4) = 6 f(4)=6, f ′ ( 0 ) = f ′ ( 4 ) = 0 f'(0) = f'(4) = 0 f′(0)=f′(4)=0
(ii) f ′ ( x ) > 0 f'(x) > 0 f′(x)>0 当 0 < x < 4 0 < x < 4 0<x<4, f ′ ( x ) < 0 f'(x) < 0 f′(x)<0 当 x < 0 x < 0 x<0 和 x > 4 x > 4 x>4
(iii) f ′ ′ ( x ) > 0 f''(x) > 0 f′′(x)>0 当 x < 2 x < 2 x<2, f ′ ′ ( x ) < 0 f''(x) < 0 f′′(x)<0 当 x > 2 x > 2 x>2
解答
条件 (i) 告诉我们,图像在点 ( 0 , 0 ) (0, 0) (0,0) 和 ( 4 , 6 ) (4, 6) (4,6) 处有水平切线。条件 (ii) 表示 f f f 在区间 ( 0 , 4 ) (0, 4) (0,4) 上增加,在区间 ( − ∞ , 0 ) (-\infty, 0) (−∞,0) 和 ( 4 , ∞ ) (4, \infty) (4,∞) 上减少。根据增加/减少测试, f ( 0 ) = 0 f(0) = 0 f(0)=0 是局部最小值,而 f ( 4 ) = 6 f(4) = 6 f(4)=6 是局部最大值。
条件 (iii) 表示图像在区间 ( − ∞ , 2 ) (-\infty, 2) (−∞,2) 上是向上凹的,在区间 ( 2 , ∞ ) (2, \infty) (2,∞) 上是向下凹的。由于曲线在 x = 2 x = 2 x=2 处从向上凹变为向下凹,因此点 ( 2 , 3 ) (2, 3) (2,3) 是一个拐点。
我们利用这些信息来画出 f f f 的图像。注意,我们使曲线在 x < 2 x < 2 x<2 时向上弯曲,而在 x > 2 x > 2 x>2 时向下弯曲。
二阶导数测试
二阶导数的另一应用是以下测试,用于识别局部最大值和最小值。它是凹性测试的结果,并作为一阶导数测试的替代方法。
二阶导数测试
假设 f ′ ′ f'' f′′ 在 c c c 附近连续。
(a) 如果 f ′ ( c ) = 0 f'(c) = 0 f′(c)=0 且 f ′ ′ ( c ) > 0 f''(c) > 0 f′′(c)>0,则 f f f 在 c c c 处有局部最小值。
(b) 如果 f ′ ( c ) = 0 f'(c) = 0 f′(c)=0 且 f ′ ′ ( c ) < 0 f''(c) < 0 f′′(c)<0,则 f f f 在 c c c 处有局部最大值。
示例 6 讨论曲线 y = x 4 − 4 x 3 y = x^4 - 4x^3 y=x4−4x3 的凹凸性、拐点以及局部极值。利用这些信息来绘制曲线。
解答 如果 f ( x ) = x 4 − 4 x 3 f(x) = x^4 - 4x^3 f(x)=x4−4x3,那么
f ′ ( x ) = 4 x 3 − 12 x 2 = 4 x 2 ( x − 3 ) f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3) f′(x)=4x3−12x2=4x2(x−3)
f ′ ′ ( x ) = 12 x 2 − 24 x = 12 x ( x − 2 ) f''(x) = 12x^2 - 24x = 12x(x - 2) f′′(x)=12x2−24x=12x(x−2)
为了找到临界点,我们设 f ′ ( x ) = 0 f'(x) = 0 f′(x)=0 并得到 x = 0 x = 0 x=0 和 x = 3 x = 3 x=3。 (注意 f ′ f' f′ 是一个多项式,因此在任何地方都是定义的。)使用二阶导数测试,我们在这些临界点上求 f ′ ′ f'' f′′ 的值:
f ′ ′ ( 0 ) = 0 f ′ ′ ( 3 ) = 36 > 0 f''(0) = 0 \quad \quad f''(3) = 36 > 0 f′′(0)=0f′′(3)=36>0
由于 f ′ ′ ( 3 ) = 0 f''(3) = 0 f′′(3)=0 且 f ′ ′ ( 3 ) > 0 f''(3) > 0 f′′(3)>0, f ( 3 ) = − 27 f(3) = -27 f(3)=−27 是一个局部极小值。 [实际上, f ′ f' f′ 的表达式显示 f f f 在 3 的左边减小,在 3 的右边增加。]
由于 f ′ ′ ( 0 ) = 0 f''(0) = 0 f′′(0)=0,二阶导数测试对该临界点没有提供任何信息。但由于 f ′ ( x ) < 0 f'(x) < 0 f′(x)<0 在 x < 0 x < 0 x<0 以及 0 < x < 3 0 < x < 3 0<x<3 的区间内,并且 f ′ ′ ( x ) = 0 f''(x) = 0 f′′(x)=0 当 x = 0 x = 0 x=0 或 2 2 2,我们将实数轴划分为以这些数为端点的区间并完成下表:
区间 | f ′ ′ ( x ) = 12 x ( x − 2 ) f''(x) = 12x(x - 2) f′′(x)=12x(x−2) | 凹凸性 |
---|---|---|
( − ∞ , 0 ) (-\infty, 0) (−∞,0) | + + + | 凸向上 |
( 0 , 2 ) (0, 2) (0,2) | − - − | 凹向下 |
( 2 , ∞ ) (2, \infty) (2,∞) | + + + | 凸向上 |
点 ( 0 , 0 ) (0, 0) (0,0) 是一个拐点,因为曲线在那里从凹向上变为凹向下。点 ( 2 , − 16 ) (2, -16) (2,−16) 也是一个拐点,因为曲线在那里从凹向下变为凹向上。
利用局部极小值、凹凸性区间以及拐点,我们绘制图中的曲线。
注意
当 f ′ ′ ( c ) = 0 f''(c) = 0 f′′(c)=0 时,二阶导数测试是不确定的。换句话说,在这种情况下可能存在极大值、极小值或既没有极大值也没有极小值(如示例 6)。这也适用于 f ′ ′ ( c ) f''(c) f′′(c) 不存在的情况。在这种情况下,必须使用一阶导数测试。事实上,当两种测试都适用时,一阶导数测试通常是更容易使用的。
示例 7 绘制函数 f ( x ) = x 2 / 3 ( 6 − x ) 1 / 3 f(x) = x^{2/3}(6 - x)^{1/3} f(x)=x2/3(6−x)1/3 的图像
解答 计算前两个导数得:
f ′ ( x ) = 4 − x x 1 / 3 ( 6 − x ) 2 / 3 f'(x) = \frac{4 - x}{x^{1/3}(6 - x)^{2/3}} f′(x)=x1/3(6−x)2/34−x
f ′ ′ ( x ) = − 8 x 4 / 3 ( 6 − x ) 5 / 3 f''(x) = \frac{-8}{x^{4/3}(6 - x)^{5/3}} f′′(x)=x4/3(6−x)5/3−8
由于 f ′ ( x ) = 0 f'(x) = 0 f′(x)=0 当 x = 4 x = 4 x=4 并且 f ′ ( x ) f'(x) f′(x) 在 x = 0 x = 0 x=0 或 x = 6 x = 6 x=6 不存在,临界点为 0 , 4 , 6 0, 4, 6 0,4,6。
区间 | 4 − x 4 - x 4−x | x 1 / 3 x^{1/3} x1/3 | ( 6 − x ) 2 / 3 (6 - x)^{2/3} (6−x)2/3 | f ′ ( x ) f'(x) f′(x) | f f f |
---|---|---|---|---|---|
x < 0 x < 0 x<0 | + | - | + | - | 减少 ( − ∞ , 0 ) (-\infty, 0) (−∞,0) |
0 < x < 4 0 < x < 4 0<x<4 | + | + | + | + | 增加 ( 0 , 4 ) (0, 4) (0,4) |
4 < x < 6 4 < x < 6 4<x<6 | - | + | + | - | 减少 ( 4 , 6 ) (4, 6) (4,6) |
x > 6 x > 6 x>6 | - | + | - | + | 减少 ( 6 , ∞ ) (6, \infty) (6,∞) |
为了找到局部极值,我们使用一阶导数测试。由于 f ′ f' f′ 从负变为正在 0 0 0 处, f ( 0 ) = 0 f(0) = 0 f(0)=0 是局部极小值。由于 f ′ f' f′ 从正变为负在 4 4 4 处, f ( 4 ) = 2 5 / 3 f(4) = 2^{5/3} f(4)=25/3 是局部极大值。由于 f ′ f' f′ 的符号在 6 6 6 处不变,因此那里没有极小值或极大值。 (可以在 4 处使用二阶导数测试,但不能在 0 0 0 或 6 6 6 处使用,因为 f ′ ′ f'' f′′ 在这些数上不存在。)
通过查看 f ′ ′ ( x ) f''(x) f′′(x) 的表达式并注意到 x 4 / 3 ≥ 0 x^{4/3} \geq 0 x4/3≥0 对于所有 x x x,我们有 f ′ ′ ( x ) < 0 f''(x) < 0 f′′(x)<0 在 x < 0 x < 0 x<0 和 0 < x < 6 0 < x < 6 0<x<6 以及 f ′ ′ ( x ) > 0 f''(x) > 0 f′′(x)>0 在 x > 6 x > 6 x>6。因此, f f f 在 ( − ∞ , 0 ) (-\infty, 0) (−∞,0) 和 ( 0 , 6 ) (0, 6) (0,6) 是凹向下的,并且在 ( 6 , ∞ ) (6, \infty) (6,∞) 是凹向上的,唯一的拐点是 ( 6 , 0 ) (6, 0) (6,0)。绘制图像。注意曲线在 ( 0 , 0 ) (0, 0) (0,0) 和 ( 6 , 0 ) (6, 0) (6,0) 处具有垂直切线,因为 ∣ f ′ ( x ) ∣ → ∞ |f'(x)| \rightarrow \infty ∣f′(x)∣→∞ 当 x → 0 x \rightarrow 0 x→0 并且 x → 6 x \rightarrow 6 x→6。
练习
1.假设 f ′ ′ ′ f{\prime}{\prime}{\prime} f′′′ 是连续的,并且 f ′ ( c ) = f ′ ′ ( c ) = 0 f{\prime}(c) = f{\prime}{\prime}(c) = 0 f′(c)=f′′(c)=0 ,但 f ′ ′ ′ ( c ) > 0 f{\prime}{\prime}{\prime}(c) > 0 f′′′(c)>0 。 f f f 在 c c c 点处是否有局部极大值或极小值? f f f 在 c c c 点处是否有拐点?
2.对于哪些 c c c 的值,函数 f ( x ) = c x + 1 x 2 + 3 f(x) = cx + \frac{1}{x^2 + 3} f(x)=cx+x2+31 在 ( − ∞ , ∞ ) (-\infty, \infty) (−∞,∞) 上是递增的?