【基础算法】排序

快速排序

算法模板

void quick_sort(int q[], int l, int r)
{
    if (l >= r) return;//区间里元素个数为一个或没有时
    int i = l - 1, j = r + 1, x = q[l + r >> 1];
    while (i < j)
    {
        do i ++ ; while (q[i] < x);
        do j -- ; while (q[j] > x);
        if (i < j) swap(q[i], q[j]);
    }
    quick_sort(q, l, j), quick_sort(q, j + 1, r);
}

x = q[l + r >> 1]代码的作用是选择中间位置的元素作为pivot，用来对数组进行划分。其中 l + r >> 1 是为了找到中间位置的索引。在这里，l + r 是数组的起始位置和结束位置之和，>> 1 是右移一位操作，相当于除以2，所以 l + r >> 1 就是中间位置的索引。这样选择中间位置的元素作为pivot可以尽量保持左右两侧元素的平衡，有助于快速排序的效率。
注意：递归时如果用quick_sort(q, l, j), quick_sort(q, j + 1, r)的话x=q[r]不可用 用quick_sort(q, l, i-1), quick_sort(q, i, r)的话x=q[l]不可用 （这样会没边界 无限递归下去 陷入死循环）
问题1:结束条件能否写成l == r?

答案是可以的，这里是个人习惯问题,写成l==r或l>=r都是没问题的

问题2:while(q[i]<x)和while(q[i]>x)这里能否写成while(q[i]<=x)和while(q[i]>=x)？

答案:不能;我们来想一种很特殊的情况，假设数字全部相等,i会一直往右走,i会自增到r+1,继续执行q[i]<x就会造成下标越界.假设你数组开的足够长,这里不会报错，但是会一直循环下去,造成内存超限制

问题3:最后一句能否改用quick_sort(q, l, j-1), quick_sort(q, j, r)？

答案:不能;当mid不加1时，区间划分为：L~ mid和mid+1~ R，反之L~ mid-1和mid~ R。
换而言之，知道什么时候mid+1就能推算出区间划分。
+1时，向上取整，是为了mid不取到左边界，什么时候不能取左边界？用左边界划分时
同理用右边界划分时不能取到右边界，故此向下取整
根据上面的推论，当x = q[l + r >> 1]时即mid向下取整了，那么就不能选取i作为边界 因此边界为L~ j和j+1~R
注意quick_sort(q, l, j-1), quick_sort(q, j, r)可能会造成无线划分
这里的边界思想二分法也要用到，所以务必掌握

现在用 i 做划分写一下代码

void quick_sort(int q[], int l, int r)
{
    if(l >= r) return;
    int i = l - 1, j = r + 1, x = q[l + r + 1 >> 1];//注意是向上取整,因为向下取整可能使得x取到q[l]
    while(i < j)
    {
        do i++; while(q[i] < x);
        do j--; while(q[j] > x);
        if(i < j) swap(q[i], q[j]);
    }
    quick_sort(q, l, i - 1), quick_sort(q, i, r);//这里是向上取整,避免取到左边界，以左边界划分
}

模板题 快速排序

题目
给定你一个长度为 n 的整数数列。
请你使用快速排序对这个数列按照从小到大进行排序。
并将排好序的数列按顺序输出。
输入格式
输入共两行，第一行包含整数 n。
第二行包含 n 个整数（所有整数均在 1∼10^9 范围内），表示整个数列。
输出格式
输出共一行，包含 n 个整数，表示排好序的数列。
数据范围
1≤n≤100000
输入样例：
5
3 1 2 4 5
输出样例：
1 2 3 4 5

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 100010;
int q[N];
void quick_sort(int q[], int l, int r)
{
    if (l >= r) return;
    
    int i = l - 1, j = r + 1, x = q[l + r >> 1];
    while (i < j)
    {
        do i ++ ; while (q[i] < x);
        do j -- ; while (q[j] > x);
        if (i < j) swap(q[i], q[j]);
    }
    quick_sort(q, l, j), quick_sort(q, j + 1, r);
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%d", &q[i]);
    quick_sort(q, 0, n - 1);
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) printf("%d ", q[i]);
    return 0;
}

求第 k 小的数

题目描述
输入n ( n < 5000000 且 n 为 奇 数 ) 个 数 字 a_i ( 0 < a_i < 10⁹ )，输出这些数字的第k小的数。最小的数是第0小。
请尽量不要使用 nth_element 来写本题，因为本题的重点在于练习分治算法。
输入样例
5 1
4 3 2 样例1 5
输出
2

易错：1.用常规的排序方法会因为数据量过大而超时 注意到只需要输出第k小的数，所以可以采用分治的思想
2.由于本题最小的数为第0个数，所以第k小的数为第k+1个数

#include <iostream>
using namespace std;
const int N=5001000;
int n,k;
int q[N];
int quick_sort(int l,int r,int k)
{
    if(l==r)return q[l];//直接返回要找的数
    int x=q[l+r>>1],i=l-1,j=r+1;
 	while(i<j)
    {
  		while(q[++i]<x);
  		while(q[--j]>x);
  		if(i<j)swap(q[i],q[j]);
 	}
	 int sl=j-l+1;//快排每次将数组分为两块，左边为l到j，右边为j+1到r
	 if(k<=sl)return quick_sort(l,j,k);//要找的数在左边
	 else return quick_sort(j+1,r,k-sl);
}
int main()
{	
	ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);//这行代码是用来提高输入输出效率的，去掉之后程序的输入输出效率会降低，不会影响程序的功能。所以即使去掉这行代码，程序仍然可以正常运行，只是可能在处理大量输入输出数据时会变得比较慢。
	cin>> n>> k;
	for(int i=0;i<n;i++)
	{ 
		cin>>q[i];
	}
	cout<<quick_sort(0,n-1,k+1)<<endl;//直接输出答案
	//endl是用来在输出后添加一个换行符的操作符，使得输出结果后立即换行。没有加endl输出结果后不会换行，后续输出的内容将紧跟在后面。
	return 0;
}

除了分治思想和排序模板以外，我们还可以学会：sort和nth_element。
sort(first,last,cmp)对[first,last)范围内的数据进行排序。
在头文件< algorithm >中，cmp表示排序规则，可省略，默认为升序排序

bool cmp(变量类型 a，变量类型 b)
{
if(xxx)return 1;//如果返回值为真，则为sort里面的“小于”（sort函数为非降序排序）
例：return a>b;(将较大的数据放在前面，因为如果a>b，则返回值为真，符合sort的“小于”)
}

nth_elment(first ,last)在头文件< algorithm >中，默认为升序排序。
当采用默认的排序规则时，该函数可以从某个序列中找到第 n 小的元素 K，并将 K 移动到序列中第 n 的位置处。除此之外，整个序列经过 nth_element() 函数处理后，所有位于 K 之前的元素都比 K 小，所有位于 K 之后的元素都比 K 大。

nth_element(x,x+k,x+n,cmp)
//在[x,x+n)中寻找第k小的数（最小为1）。cmp可省略。

法二代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int x[5000005],k;
int main()
{
	int n;
	scanf("%d%d",&n,&k);
	for(int i=0;i<n;i++)
		scanf("%d",&x[i]);
	nth_element(x,x+k,x+n);
	printf("%d",x[k]);
}

归并排序

何谓归并排序，先看下面一个例子：

设有数列{6，100，38，202，100，301，38，8，1}
初始状态：{6}，{100}，{38}，{202}，{100}，{301}，{38}，{8}，{1}
第一次归并后：{6,100}，{38，202}，{100，301}，{8，38}，{1}；
第二次归并后：{6，38，100，202}，{8，38，100，301}，{1}；
第三次归并后：{6，8，38，38，100，100，202，301}，{1}；
第四次归并后：{1，6，8，38，38，100，100，202，301}
最终结果得出：{1，6，8，38，38，100，100，202，301}

归并排序的关键在于合并两个有序序列的步骤，这一步需要线性时间复杂度。因此，整个归并排序算法的时间复杂度为O(n log n)。归并排序是一种稳定且高效的排序算法，它的最坏、最好、平均时间复杂度均为O(nlogn)，是一种稳定排序的算法。一般按照三步走：
1.划分问题：把序列分成元素个数尽量相等的两个序列
2.递归求解：对两个序列分别排序
3.合并问题：把两个有序序列合并为一个序列
归并排序是一种稳定的排序方法：在合并两个有序序列时，若左边序列中有元素与右边序列中某个元素相等，这时只需将左边序列的元素填充至辅助数组并将指针后移，右边指针不动，即可保证排序的稳定性。

算法模板

void merge_sort(int q[], int l, int r)
{
    if (l >= r) return;
    
    int mid = l + r >> 1;
    merge_sort(q, l, mid);
    merge_sort(q, mid + 1, r);

    int k = 0, i = l, j = mid + 1;
    while (i <= mid && j <= r)
        if (q[i] <= q[j]) tmp[k ++ ] = q[i ++ ];
        else tmp[k ++ ] = q[j ++ ];

    while (i <= mid) tmp[k ++ ] = q[i ++ ];
    while (j <= r) tmp[k ++ ] = q[j ++ ];

    for (i = l, j = 0; i <= r; i ++, j ++ ) q[i] = tmp[j];
}

为什么不用 mid - 1 作为分隔线呢?即 merge_sort(q, l, mid - 1 ), merge_sort(q, mid, r)
因为 mid = l + r >> 1 是向下取整，mid 有可能取到 l (数组只有两个数时)，造成无限划分
解决办法: mid 向上取整就可以了, 即 mid = l + r + 1 >> 1,如下所示:

void merge_sort(int q[], int l, int r)
{
    if(l >= r) return;
 
    int mid = l + r + 1>> 1;
    merge_sort(q, l, mid - 1 ), merge_sort(q, mid, r);
 
    int k = 0, i = l, j = mid;
    while(i < mid && j <= r)
        if(q[i] <= q[j]) tmp[k++] = q[i++];
        else tmp[k++] = q[j++];
    while(i < mid) tmp[k++] = q[i++];
    while(j <= r) tmp[k++] = q[j++];
 
    for(k = 0, i = l; i <= r; k++, i++) q[i] = tmp[k];
}

模板题 归并排序

题目
给定你一个长度为 n 的整数数列。
请你使用归并排序对这个数列按照从小到大进行排序。
并将排好序的数列按顺序输出。
输入格式
输入共两行，第一行包含整数 n。
第二行包含 n 个整数（所有整数均在 1∼1091∼109 范围内），表示整个数列。
输出格式
输出共一行，包含 n 个整数，表示排好序的数列。
数据范围
1≤n≤100000
输入样例：
5
3 1 2 4 5
输出样例：
1 2 3 4 5

#include <iostream>
using namespace std;
 
const int N = 100010;
int n;
int q[N], tmp[N];
 
void merge_sort(int q[], int l,int r) {
    if(l >= r)return ; //递归的终止情况
 
    //第一步：分成子问题
    int mid = l + r >> 1; //注意mid是向上取整
 
    //第二步：递归处理子问题
    merge_sort(nums, l, mid);
    merge_sort(nums, mid + 1, r);
    
    //第三步：合并子问题
    int k = 0, i = l,j = mid + 1;
    while(i <= mid && j <= r) {
        if(q[i] < q[j]) tmp[k ++] = q[i++];
        else tmp[k ++] = q[j ++];
    }
    while(i <= mid) tmp[k ++] = q[i ++];
    while(j <= r) tmp[k ++] = q[j ++];
    
    for (int i = 0, j = l;j <= r; i++, j++) q[j] = tmp[i];
}
 
int main(){
    int n;
	scanf("%d", &n);
	while (int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &q[i]);
	merge_sort(q, 0, n - 1);
	while (int i = 0; i < n; i++) printf("%d", q[i]);
	return 0;
}

逆序对

题目
给定一个长度为 n 的整数数列，请你计算数列中的逆序对的数量。
逆序对的定义如下：对于数列的第 i个和第 j个元素，如果满足 i<j 且 a[i]>a[j]，则其为一个逆序对；否则不是。
输入格式
第一行包含整数 n，表示数列的长度。
第二行包含 n个整数，表示整个数列。
输出格式
输出一个整数，表示逆序对的个数。
数据范围
1≤n≤100000，
数列中的元素的取值范围 [1，1e9]。
输入样例
6
2 3 4 5 6 1
输出样例
5

求序列的逆序对，先看下面的例子：
设有数列{6，100，38，202，100，301，38，8，1}
初始状态：{6}，{100}，{38}，{202}，{100}，{301}，{38}，{8}，{1}
第一次归并后：{6,100}，{38，202}，{100，301}，{8，38}，{1}；比较次数：4，逆序对数：1
第二次归并后：{6，38，100，202}，{8，38，100，301}，{1}；比较次数：5，逆序对数：5
第三次归并后：{6，8，38，38，100，100，202，301}，{1}；比较次数：6，逆序对数：6
第四次归并后：{1，6，8，38，38，100，100，202，301}：比较次数：1，逆序对数：8
总的比较次数为：4+5+6+1=16 逆序对数目为：1+5+6+8 = 20

根据归并排序的特性（左右两部分的有序序列合并时，假设i在左边，j在右边，对于右边的j，统计左边比它大的元素个数f(j)，则f(j) = mid-i+1 ，合并完所有的序列时即可得出答案，即f(j)之和便是答案），只需将上面的代码修改一处：把“else tmp[k++] = q[j++];”改成“ else {tmp[k++] = q[j++]; cnt += mid-p+1;}" ，注意在调用之前将cnt清零。

#include<iostream>
using namespace std;
#define N 500010
int q[N], tmp[N];
long long res;
void merge_sort(int q[],int l, int r) {
	if (l >= r)return ;
	int mid = l + r >> 1;
	merge_sort(q,l, mid); merge_sort(q,mid + 1, r);
	int k = 0, i = l, j = mid + 1;
	while (i <= mid && j <= r) {
		if (q[i] <= q[j]) tmp[k++] = q[i++];
		else {
			tmp[k++] = q[j++];
			res += mid - i + 1;
		}
	}
	while (i <= mid)tmp[k++] = q[i++];
	while (j <= r)tmp[k++] = q[j++];
	for (int i = l, j = 0; i <= r; i++, j++)
		q[i] = tmp[j];
}
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    for(int i = 0 ; i<n; i ++)
        cin >> q[i];
    res = 0;
    merge_sort(q,0,n-1);
    cout << res <<endl;
    return 0;
}