动手学深度学习——3.多层感知机

1.线性模型

线性模型可能出错

例如，线性意味着单调假设：任何特征的增大都会导致模型输出的增大（如果对应的权重为正），或者导致模型输出的减小（如果对应的权重为负）。有时这是有道理的。例如，如果我们试图预测一个人是否会偿还贷款。我们可以认为，在其他条件不变的情况下，收入较高的申请人比收入较低的申请人更有可能偿还贷款。但是，虽然收入与还款概率存在单调性，但它们不是线性相关的。收入从0增加到5万，可能比从100万增加到105万带来更大的还款可能性。处理这一问题的一种方法是对我们的数据进行预处理，使线性变得更合理，如使用收入的对数作为我们的特征。

然而我们可以很容易找出违反单调性的例子。例如，我们想要根据体温预测死亡率。对体温高于37摄氏度的人来说，温度越高风险越大。然而，对体温低于37摄氏度的人来说，温度越高风险就越低。在这种情况下，我们也可以通过一些巧妙的预处理来解决问题。例如，我们可以使用与37摄氏度的距离作为特征。

但是，如何对猫和狗的图像进行分类呢？增加位置(13,17)处像素的强度是否总是增加（或降低）图像描绘狗的似然？对线性模型的依赖对应于一个隐含的假设，即区分猫和狗的唯一要求是评估单个像素的强度。在一个倒置图像后依然保留类别的世界里，这种方法注定会失败。

与我们前面的例子相比，这里的线性很荒谬，而且我们难以通过简单的预处理来解决这个问题。这是因为任何像素的重要性都以复杂的方式取决于该像素的上下文（周围像素的值）。我们的数据可能会有一种表示，这种表示会考虑到我们在特征之间的相关交互作用。在此表示的基础上建立一个线性模型可能会是合适的，但我们不知道如何手动计算这么一种表示。对于深度神经网络，我们使用观测数据来联合学习隐藏层表示和应用于该表示的线性预测器。

2.加入隐藏层

我们可以通过在网络中加入一个或多个隐藏层来克服线性模型的限制，使其能处理更普遍的函数关系类型。要做到这一点，最简单的方法是将许多全连接层堆叠在一起。每一层都输出到上面的层，直到生成最后的输出。我们可以把前𝐿−1层看作表示，把最后一层看作线性预测器。这种架构通常称为多层感知机（multilayer perceptron），通常缩写为MLP。

3.从线性到非线性

注意在添加隐藏层之后，模型现在需要跟踪和更新额外的参数。可我们能从中得到什么好处呢？在上面定义的模型里，我们没有好处！原因很简单：上面的隐藏单元由输入的仿射函数给出，而输出（softmax操作前）只是隐藏单元的仿射函数。仿射函数的仿射函数本身就是仿射函数，但是我们之前的线性模型已经能够表示任何仿射函数。

为了发挥多层架构的潜力，我们还需要一个额外的关键要素：在仿射变换之后对每个隐藏单元应用非线性的激活函数（activation function）𝜎。激活函数的输出（例如，𝜎(⋅)）被称为活性值（activations）。一般来说，有了激活函数，就不可能再将我们的多层感知机退化成线性模型。

4.激活函数

激活函数（activation function）通过计算加权和并加上偏置来确定神经元是否应该被激活，它们将输入信号转换为输出的可微运算。大多数激活函数都是非线性的。由于激活函数是深度学习的基础，下面简要介绍一些常见的激活函数。

5.模型复杂性

当我们有简单的模型和大量的数据时，我们期望泛化误差与训练误差相近。当我们有更复杂的模型和更少的样本时，我们预计训练误差会下降，但泛化误差会增大。模型复杂性由什么构成是一个复杂的问题。一个模型是否能很好地泛化取决于很多因素。例如，具有更多参数的模型可能被认为更复杂，参数有更大取值范围的模型可能更为复杂。通常对于神经网络，我们认为需要更多训练迭代的模型比较复杂，而需要早停（early stopping）的模型（即较少训练迭代周期）就不那么复杂。

我们很难比较本质上不同大类的模型之间（例如，决策树与神经网络）的复杂性。就目前而言，一条简单的经验法则相当有用：统计学家认为，能够轻松解释任意事实的模型是复杂的，而表达能力有限但仍能很好地解释数据的模型可能更有现实用途。在哲学上，这与波普尔的科学理论的可证伪性标准密切相关：如果一个理论能拟合数据，且有具体的测试可以用来证明它是错误的，那么它就是好的。这一点很重要，因为所有的统计估计都是事后归纳。也就是说，我们在观察事实之后进行估计，因此容易受到相关谬误的影响。目前，我们将把哲学放在一边，坚持更切实的问题。

本节为了给出一些直观的印象，我们将重点介绍几个倾向于影响模型泛化的因素。

可调整参数的数量。当可调整参数的数量（有时称为自由度）很大时，模型往往更容易过拟合。

参数采用的值。当权重的取值范围较大时，模型可能更容易过拟合。

训练样本的数量。即使模型很简单，也很容易过拟合只包含一两个样本的数据集。而过拟合一个有数百万个样本的数据集则需要一个极其灵活的模型。

6.验证集

在机器学习和深度学习中，将数据集分为训练集、验证集和测试集是为了确保模型的性能和泛化能力。这三个数据集的角色和作用分别如下：

训练集（Training Set）：
- 用于训练模型，即模型在这些数据上进行参数调整和学习模式。
- 模型在训练集上的表现主要反映其在已知数据上的学习能力。
验证集（Validation Set）：
- 用于模型的选择和超参数调整。
- 在训练过程中，验证集帮助监控模型的表现，以防止过拟合（即模型在训练集上表现很好，但在新数据上表现不佳）。
- 通过验证集，能够在训练过程中评估模型的性能，调整模型的架构或选择最优的超参数组合（如学习率、正则化参数等）。
- 验证集的结果用于指导模型的优化和调整，而不是最终的模型评估。
测试集（Test Set）：
- 用于评估模型的最终性能。
- 测试集在训练和验证过程中不参与任何模型调整。
- 测试集的结果代表模型在真实世界新数据上的性能，反映模型的泛化能力。

总结来说，验证集的引入是为了在模型训练过程中提供一个独立的数据集来进行模型评估和调整，以防止过拟合，并帮助选择最优的模型参数。测试集则是在模型训练和调优完成后，用于对模型进行最终的性能评估。通过这种分割方法，可以更好地评估模型的性能，并确保模型在未见过的数据上也能表现良好。

7.K折交叉验证

当训练数据稀缺时，我们甚至可能无法提供足够的数据来构成一个合适的验证集。这个问题的一个流行的解决方案是采用𝐾折交叉验证。这里，原始训练数据被分成𝐾个不重叠的子集。然后执行𝐾次模型训练和验证，每次在𝐾−1个子集上进行训练，并在剩余的一个子集（在该轮中没有用于训练的子集）上进行验证。最后，通过对𝐾次实验的结果取平均来估计训练和验证误差。

8.权重衰减

在训练参数化机器学习模型时， 权重衰减（weight decay）是最广泛使用的正则化的技术之一，它通常也被称为𝐿2正则化。这项技术通过函数与零的距离来衡量函数的复杂度，因为在所有函数𝑓中，函数𝑓=0（所有输入都得到值0）在某种意义上是最简单的。但是我们应该如何精确地测量一个函数和零之间的距离呢？没有一个正确的答案。事实上，函数分析和巴拿赫空间理论的研究，都在致力于回答这个问题。

一种简单的方法是通过线性函数 𝑓(𝑥)=𝑤⊤𝑥 中的权重向量的某个范数来度量其复杂性，例如‖𝑤‖2。要保证权重向量比较小，最常用方法是将其范数作为惩罚项加到最小化损失的问题中。将原来的训练目标最小化训练标签上的预测损失，调整为最小化预测损失和惩罚项之和。现在，如果我们的权重向量增长的太大，我们的学习算法可能会更集中于最小化权重范数‖𝑤‖2。

此外，为什么我们首先使用𝐿2范数，而不是𝐿1范数。事实上，这个选择在整个统计领域中都是有效的和受欢迎的。 𝐿2正则化线性模型构成经典的岭回归（ridge regression）算法， 𝐿1正则化线性回归是统计学中类似的基本模型，通常被称为套索回归（lasso regression）。使用𝐿2范数的一个原因是它对权重向量的大分量施加了巨大的惩罚。这使得我们的学习算法偏向于在大量特征上均匀分布权重的模型。在实践中，这可能使它们对单个变量中的观测误差更为稳定。相比之下，𝐿1惩罚会导致模型将权重集中在一小部分特征上，而将其他权重清除为零。这称为特征选择（feature selection），这可能是其他场景下需要的。

权重衰减的数学表达如下：