二分查找（Binary Search），也被称为折半查找，是一种在有序数组中查找特定元素的高效算法。它的基本思想是将查找区间分为两部分，通过比较中间元素与目标值来决定下一步是在哪一半继续查找。
二分查找的步骤：
- 初始化：定义两个指针
left和right分别指向数组的起始位置和结束位置。 - 循环条件：当
left <= right时，继续执行以下步骤。 - 计算中间位置：
mid = (left + right) / 2。为了避免整型溢出，通常使用mid = left + (right - left) / 2或者mid = (left + right) >>> 1。 - 比较：比较数组中间位置的元素
arr[mid]与目标值target。- 如果
arr[mid] == target，则找到了目标值，返回mid。 - 如果
arr[mid] < target，则更新left = mid + 1，因为目标值可能位于右侧子数组。 - 如果
arr[mid] > target，则更新right = mid - 1，因为目标值可能位于左侧子数组。
- 如果
- 重复步骤3和4，直到找到目标值或者
left > right。 - 未找到：如果退出循环是因为
left > right，说明数组中不存在目标值，返回-1或者其他表示未找到的值。
Java 实现：
下面是一个简单的二分查找的Java实现示例：
public class BinarySearch {
public static int binarySearch(int[] arr, int target) {
int left = 0;
int right = arr.length - 1;
while (left <= right) {
// 防止(left + right)可能导致的溢出
int mid = left + (right - left) / 2;
if (arr[mid] == target) {
return mid;
} else if (arr[mid] < target) {
left = mid + 1;
} else {
right = mid - 1;
}
}
// 目标值不在数组中
return -1;
}
public static void main(String[] args) {
int[] arr = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};
int target = 4;
int result = binarySearch(arr, target);
if (result != -1) {
System.out.println("Element found at index: " + result);
} else {
System.out.println("Element not found in the array");
}
}
}
时间复杂度：
二分查找的时间复杂度为 O(log n)，其中 n 是数组的长度。这是因为每次比较都会将搜索空间减半，直到找到目标值或搜索空间为空。
注意事项：
- 数组必须是有序的。
- 二分查找仅适用于静态数组，对于动态变化的数据结构，如频繁插入删除的列表，可能不是最佳选择。
- 在处理边界条件和溢出时要小心，以避免潜在的错误。
在Java中优化二分搜索代码主要可以从以下几个方面进行：
防止整数溢出：在计算中间位置时，使用
(left + right) / 2可能会遇到整数溢出的问题，尤其是在left和right均为较大的正整数时。解决这个问题的一种方法是使用(left + right) >>> 1或left + (right - left) / 2来计算中间位置。减少不必要的计算：在循环内部，可以避免重复计算已经确定的值，比如
mid的计算只应在每次循环开始时进行一次。简化循环条件：确保循环终止条件是最简洁有效的形式。
处理边界情况：确保你的代码能够正确处理边界情况，比如空数组、单元素数组等。
下面是一个优化过的二分查找Java代码示例：
public class BinarySearch {
public static int binarySearch(int[] arr, int target) {
int left = 0;
int right = arr.length - 1;
while (left <= right) {
int mid = left + (right - left) / 2; // 防止溢出
if (arr[mid] == target) {
return mid;
} else if (arr[mid] < target) {
left = mid + 1;
} else {
right = mid - 1;
}
}
// 目标值不在数组中
return -1;
}
public static void main(String[] args) {
int[] arr = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};
int target = 4;
int result = binarySearch(arr, target);
if (result != -1) {
System.out.println("Element found at index: " + result);
} else {
System.out.println("Element not found in the array");
}
}
}
在这个版本中，我们使用了 left + (right - left) / 2 来避免整数溢出问题，并且循环条件和计算逻辑已经尽可能地简化和标准化。此外，我们还应该考虑是否需要处理数组为空的情况，这可以通过在循环之前添加一个检查来完成：
if (arr == null || arr.length == 0) {
return -1;
}
最后，根据实际应用的需求，你可能还需要考虑以下几点：
- 如果数组中有多个相同的元素，你可能需要修改算法来找到第一个或最后一个匹配项。
- 如果你需要在没有找到目标值的情况下插入它，可以利用返回值来确定插入位置。
- 对于非常大的数据集，考虑使用并行或分段的二分搜索算法，以提高性能。
为了进一步完善二分查找的代码，我们可以考虑以下几点：
- 处理特殊情况：例如，如果数组为空或
null，应立即返回适当的结果。 - 寻找目标值的第一个或最后一个出现的位置：这对于有重复元素的数组特别有用。
- 查找目标值的插入位置：当目标值不存在于数组中时，返回其应该被插入的位置。
接下来，我们将分别针对这些场景提供代码示例。
1. 处理特殊情况
public static int binarySearch(int[] arr, int target) {
if (arr == null || arr.length == 0) {
return -1; // 或者返回一个特殊值，如 arr.length 表示目标值应插入数组末尾
}
int left = 0;
int right = arr.length - 1;
// ... 其他代码 ...
}
2. 查找目标值的第一个或最后一个出现的位置
假设数组可能包含重复的目标值，我们希望找到它的第一次出现或最后一次出现的位置。
第一次出现的位置
public static int findFirstOccurrence(int[] arr, int target) {
int left = 0;
int right = arr.length - 1;
int result = -1;
while (left <= right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
if (arr[mid] == target) {
result = mid;
right = mid - 1; // 继续在左边查找
} else if (arr[mid] < target) {
left = mid + 1;
} else {
right = mid - 1;
}
}
return result;
}
最后一次出现的位置
public static int findLastOccurrence(int[] arr, int target) {
int left = 0;
int right = arr.length - 1;
int result = -1;
while (left <= right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
if (arr[mid] == target) {
result = mid;
left = mid + 1; // 继续在右边查找
} else if (arr[mid] < target) {
left = mid + 1;
} else {
right = mid - 1;
}
}
return result;
}
3. 查找目标值的插入位置
当目标值不存在于数组中时，返回其应该被插入的位置。
public static int findInsertPosition(int[] arr, int target) {
int left = 0;
int right = arr.length;
while (left < right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
if (arr[mid] < target) {
left = mid + 1;
} else {
right = mid;
}
}
return left; // 返回插入位置
}
这些函数可以根据具体的应用场景进行调用，以满足不同的需求。
