量子力学基础：2.表象、态矢量与算符的表示、表象变换

回顾设定

      第一篇文章中我们有如下设定：

1. 量子体系状态的描述（员工工作状态）: 每个员工看作一个量子态,他们的工作状态可以被视作这个量子态的波函数。例如，双缝实验中，一个粒子可以通过两个缝口如同员工可以同时处理两项任务，对公司的贡献是这两项任务的叠加。

2. 量子体系力学量的描述（任务完成情况）: 算符可以被视作描述员工任务的工具，例如位置和动量算符描述员工的销售额和生产力，断裂和旋转算符描述员工的质量控制和团队管理能力。

3. 量子态随时间的演化（企业运营模式）: 企业运营状态的改变类似量子态的演化，需要根据薛定谔方程或哈密顿算符来调整和优化。

4. 量子力学中的测量问题（企业业绩考核）: 类似于量子力学中的测量问题，企业的业绩考核是不确定的，因为它取决于许多不确定的因素，比如员工的表现。

5. 全同粒子假设(员工相同设定): 同一岗位的员工被视作完全相同，如同玻色子可以共享同一个量子态，即多个销售人员可以完成同样的销售任务。

一、表象的概念

        在量子力学中，我们常常需要在不同的表象之间进行转换，比如从位置表象转换到动量表象。表象可以被看作是描述员工状态和工作完成情况的不同“视角”或“框架”。比如，我们可以从“销售额视角”（位置表象）描述销售人员，也可以从“客户满意度视角”（动量表象）来描述他们。

        常见的表象如下：

1. 位置表象与动量表象：

   • 位置表象：在这个表象中，波函数ψ(x)描述了一个粒子在空间中的位置概率分布。例如，对于一个自由粒子，其波函数是一个平面波，表示粒子在空间中各处出现的概率是均匀的。
   • 动量表象：在这个表象中，波函数ϕ(p)描述了一个粒子具有特定动量的概率分布。例如，对于同一个自由粒子，其动量波函数也是一个平面波，表示粒子具有特定动量的概率是均匀的。

2. 能量表象：

   在能量表象中，波函数被表示为一系列能量本征态的叠加，每个本征态对应于一个特定的能量值。例如，在一个有限深势阱中，粒子的波函数可以表示为一系列驻波，每个驻波对应于一个允许的能量本征值。

3. 自旋表象：

   在自旋表象中，波函数描述了粒子自旋状态的概率分布。例如，对于一个电子，其自旋可以向上（自旋+1/2）或向下（自旋-1/2），波函数可以表示为这两个自旋态的叠加。

4. 角动量表象：

   在角动量表象中，波函数描述了粒子角动量状态的概率分布。例如，对于一个原子中的电子，其角动量可以有不同的量子数（l, m），波函数可以表示为这些角动量态的叠加。

二、态矢量在具体表象中的表示

        态矢量在具体表象中的表示就是在给定的评价标准（表象）下，如何表示员工的工作状态（态矢量）。比如，我们可以用销售额（本征值）表示销售人员的工作状态，而这个销售额就是员工状态在“销售额视角”下的表示。

三、算符在具体表象中的表示

        这部分内容涉及到如何在给定的表象中表示算符。在这个比喻中，这就像是在给定的评价标准（表象）下，如何表示评价员工工作的工具（算符）。比如，我们可以定义一个“销售额算符”，它在“销售额视角”下的表示就是员工的销售额。

        常见表象中的具体算符如下：

1. 位置表象中的动量算符：在位置表象中，动量算符被表示为。这个表示形式来源于量子力学中的基本对易关系。例如，如果我们有一个波函数\psi(x)ψ(x)，我们可以通过作用动量算符来得到动量的期望值，即。

2. 动量表象中的位置算符：在动量表象中，位置算符被表示为​。这个表示形式同样来源于量子力学中的基本对易关系。例如，如果我们有一个波函数ϕ(p)，我们可以通过作用位置算符来得到位置的期望值，即。

3. 能量表象中的哈密顿算符：在能量表象中，哈密顿算符被表示为能量本征值的矩阵。例如，在一个有限深势阱中，哈密顿算符的本征值和本征函数可以构成一个对角矩阵，其中对角线上的元素是能量本征值。

4. 自旋表象中的自旋算符：在自旋表象中，自旋算符被表示为自旋本征态的矩阵。例如，对于一个电子，自旋算符可以表示为泡利矩阵，这些矩阵作用在自旋态上可以得到自旋的期望值。

四、表象变换

        这部分内容涉及到如何在不同的表象之间进行转换。在这个比喻中，这就像是如何根据不同的评价标准（表象）重新评价员工的工作表现。比如，我们可能需要将员工的工作表现从“销售额视角”转换到“客户满意度视角”。

        常见的表象变换如下:

1. 从位置表象到动量表象的变换：在这个变换中，我们使用傅里叶变换将位置空间的波函数转换为动量空间的波函数。例如，位置空间的波函数可以表示为一个高斯波包，那么通过对这个波函数进行傅里叶变换，我们可以得到动量空间的波函数，它同时也是一个高斯波包。

2. 从动量表象到能量表象的变换：在这个变换中，我们需要解决哈密顿算符的本征值问题，得到对应的能量本征态。例如，对于一个自由粒子，由于其哈密顿算符只包含动量算符的平方，所以在动量表象中很容易得到能量本征态，它们就是动量的本征态。

3. 从自旋表象到角动量表象的变换：这个变换需要通过解决角动量算符的本征值问题来完成。例如，对于一个电子，我们可以解决其总角动量算符的本征值问题，得到总角动量的本征态，然后再将这些本征态表示为自旋和轨道角动量的函数，这样就完成了从自旋表象到角动量表象的变换。