固体物理学习笔记（持续更新

固体物理学（黄昆）

晶格周期性的函数

记晶格基矢$a_1,a_2,a_3$和倒格矢$b_1,b_2,b_3$。一个具有晶格周期性的函数可以定义为：
$$\begin{array}{rlrl}\mathcal{V}:& {\mathbb{R}}^3& \to & \mathbb{C}\\ & x& \mapsto & V(x)\end{array}$$
其中，$V\in \mathcal{V}$满足下式：
$$V(x)=V(x+l_1{a}_1+l_2{a}_2+l_3{a}_3),l_1,l_2,l_3\in \mathbb{Z}$$
若记$x={\xi }_1{a}_1+{\xi }_2{a}_2+{\xi }_3{a}_3$和函数
$$\begin{array}{rlrl}\mathcal{W}:& {\mathbb{R}}^3& \to & \mathbb{C}\\ & ({\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3)& \mapsto & W({\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3)\end{array}$$
则，$\forall V\in \mathcal{V},\exists W\in \mathcal{W}$，使得：
$$W({\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3)=V({\xi }_1{a}_1+{\xi }_2{a}_2+{\xi }_3{a}_3)=V(x)$$
其中，$W$满足周期性：
$$W({\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3)=W({\xi }_1+l_1,{\xi }_2+l_2,{\xi }_3+l_3),l_1,l_2,l_3\in \mathbb{Z}$$
将$W$展开成傅里叶级数：
$$W({\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3)=\sum _{h_1,h_2,h_3\in \mathbb{Z}}^{0\to \infty }{w}_{h_1,h_2,h_3}{\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}(h_1{\xi }_1+h_2{\xi }_2+h_3{\xi }_3)}$$
如何求取傅里叶展开的系数，书中是直接给了答案，但是我对于傅里叶相关的知识已经忘差不多了，只好重新推导一下：
对于$w_{0,0,0}$的情况，比较简单，两边同时在区间$[0,1{)}^3$上积分：
$$\begin{array}{rl}{\int }_0^1{\int }_0^1{\int }_0^{1}W({\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3)\mathrm{d}{\xi }_1\mathrm{d}{\xi }_2\mathrm{d}{\xi }_3& =\sum _{h_1,h_2,h_3\in \mathbb{Z}}^{0\to \infty }{w}_{h_1,h_2,h_3}{\int }_0^1{\int }_0^1{\int }_0^1{\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}(h_1{\xi }_1+h_2{\xi }_2+h_3{\xi }_3)}\mathrm{d}{\xi }_1\mathrm{d}{\xi }_2\mathrm{d}{\xi }_3\\ & =w_{0,0,0}\end{array}$$
对于其他情况，我们先验证基的正交性。设函数：
$$\begin{array}{rlrl}\mathcal{F}:& {\mathbb{R}}^3& \to & \mathbb{C}\\ & ({\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3)& \mapsto & f_{h_1,h_2,h_3}({\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3)={\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}(h_1{\xi }_1+h_2{\xi }_2+h_3{\xi }_3)},h_1,h_2,h_3\in \mathbb{Z}\end{array}$$
设$f_{i_1,i_2,i_3},f_{j_1,j_2,j_3}\in \mathcal{F}$，有：
$$\begin{array}{rl}<f_{i_1,i_2,i_3},f_{j_1,j_2,j_3}>& ={\int }_0^1{\int }_0^1{\int }_0^1{\left(f_{i_1,i_2,i_3}\right)}^{\ast }{f}_{j_1,j_2,j_3}\mathrm{d}{\xi }_1\mathrm{d}{\xi }_2\mathrm{d}{\xi }_3\\ & ={\int }_0^1{\int }_0^1{\int }_0^1{\left({\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}(i_1{\xi }_1+i_2{\xi }_2+i_3{\xi }_3)}\right)}^{\ast }{\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}(j_1{\xi }_1+j_2{\xi }_2+j_3{\xi }_3)}\mathrm{d}{\xi }_1\mathrm{d}{\xi }_2\mathrm{d}{\xi }_3\\ & ={\int }_0^1{\int }_0^1{\int }_0^1{\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}\left((j_1-i_1){\xi }_1+(j_2-i_2){\xi }_2+(j_3-i_3){\xi }_3\right)}\mathrm{d}{\xi }_1\mathrm{d}{\xi }_2\mathrm{d}{\xi }_3\\ & ={\int }_0^1{\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}(j_1-i_1){\xi }_1}\mathrm{d}{\xi }_1{\int }_0^1{\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}(j_2-i_2){\xi }_2}\mathrm{d}{\xi }_2{\int }_0^1{\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}(j_3-i_3){\xi }_3}\mathrm{d}{\xi }_3\\ & =\{\begin{array}{rlr}& 0& (i_1,i_2,i_3)\ne (j_1,j_2,j_3)\\ & 1& (i_1,i_2,i_3)=(j_1,j_2,j_3)\end{array}\end{array}$$
因此，取基${\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}(h_1{\xi }_1+h_2{\xi }_2+h_3{\xi }_3)}$和$W$的内积有：
$$\begin{array}{rl}<{\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}(h_1{\xi }_1+h_2{\xi }_2+h_3{\xi }_3)},W({\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3)>& =\sum _{i_1,i_2,i_3\in \mathbb{Z}}^{0\to \infty }<{\mathrm{e}}^{-2\pi \mathrm{i}(h_1{\xi }_1+h_2{\xi }_2+h_3{\xi }_3)},w_{i_1,i_2,i_3}{\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}(i_1{\xi }_1+i_2{\xi }_2+i_3{\xi }_3)}>\\ & =w_{h_1,h_2,h_3}\end{array}$$
即，系数可由下式求得：
$$w_{h_1,h_2,h_3}={\int }_0^1{\int }_0^1{\int }_0^1{\mathrm{e}}^{-2\pi \mathrm{i}(h_1{\xi }_1+h_2{\xi }_2+h_3{\xi }_3)}W({\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3)\mathrm{d}{\xi }_1\mathrm{d}{\xi }_2\mathrm{d}{\xi }_3$$
接下来进行换元，对$({\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3)$的积分域$[0,1{)}^3$，换为：
$$D=\left\{x\in {\mathbb{R}}^3|x={\xi }_1{a}_1+{\xi }_2{a}_2+{\xi }_3{a}_3,({\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3)\in [0,1{)}^3\right\}$$
则有：
$$\mathrm{d}x=|a_1\cdot (a_2\times a_3)|\mathrm{d}{\xi }_1\mathrm{d}{\xi }_2\mathrm{d}{\xi }_3$$
结合倒格矢，可以将傅里叶展开及其系数重新写为以$x$为变量的形式：
$$\begin{array}{rl}V(x)& =\sum _{h_1,h_2,h_3\in \mathbb{Z}}^{0\to \infty }{v}_{h_1,h_2,h_3}{\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}(h_1{b}_1\cdot x+h_2{b}_2\cdot x+h_3{b}_3\cdot x)}\\ & =\sum _{h_1,h_2,h_3\in \mathbb{Z}}^{0\to \infty }{v}_{h_1,h_2,h_3}{\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}(h_1{b}_1+h_2{b}_2+h_3{b}_3)\cdot x}\end{array}$$
系数：
$$v_{h_1,h_2,h_3}={\int }_D{\mathrm{e}}^{-2\pi \mathrm{i}(h_1{b}_1+h_2{b}_2+h_3{b}_3)\cdot x}V(x)\mathrm{d}x$$