中心极限定理的MATLAB例

独立同分布的中心极限定理：
设 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ 是独立同分布的随机变量序列，且 $E(X_i)=\mu$，$D(X_i)={\sigma }^2>0$，则随机变量之和 ${\sum }_{i=1}^n{X}_i$ 的标准化变量 $\frac{{\sum }_{i=1}^n{X}_i-n\mu }{\sqrt{n}\sigma }$ 的分布函数 $F_n(x)$ 对于任意 $x$ 满足 ${\lim }_{n\to \infty }{F}_n(x)=\Phi (x)$，其中 $\Phi (x)$ 是标准正态分布的分布函数。

简单来说，中心极限定理表明，当从任意一个总体中抽取样本量足够大的样本时，样本均值的分布将趋近于正态分布，无论原来的总体分布是什么。

mu = 1; % Population parameter
n = 1e3; % Sample size
ns = 1e4; % Number of samples
%%
rng(‘default’) % For reproducibility
samples = exprnd(mu,n,ns); % Population samples
means = mean(samples); % Sample means
%%
[muHat,sigmaHat] = normfit(means);
numbins = 50;
%%
figure
histogram(means,numbins,‘Normalization’,‘pdf’)
hold on
x = min(means):0.001:max(means);
y = normpdf(x,muHat,sigmaHat);
plot(x,y,‘LineWidth’,2)
box off
xlabel(‘$x$’, ‘FontSize’,14, ‘Interpreter’,‘latex’)
ylabel(‘$p(x)$’, ‘FontSize’,14, ‘Interpreter’,‘latex’)