白话机器3：PCA与SVM详细数学原理

一、PCA数学原理

1.数据标准化

        首先，需要对原始数据进行标准化处理，使得每个特征的均值为0，方差为1。假设有一个的数据矩阵X，其中每一列是一个样本，每一行是一个特征。

标准化公式如下：

其中，是原始数据矩阵X中的元素，是第j个特征的均值， 是第j个特征的标准差，是标准化后的数据。

2.计算协方差矩阵

        接下来，我们需要计算标准化后数据矩阵的协方差矩阵。协方差矩阵是一个对称矩阵，它描述了数据中不同特征之间的线性关系。

协方差矩阵的计算公式如下：

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        其中，n 是样本数量， 是标准化后的数据矩阵， 是的转置。

3.计算特征值和特征向量

        协方差矩阵的特征值和特征向量可以通过求解特征方程得到：

其中， 是特征值，是单位矩阵。

对于每个特征值，我们可以找到对应的特征向量，满足：

4.选择主成分

特征值的大小代表了对应特征向量方向上的方差大小。我们通常选择最大的几个特征值对应的特征向量作为主成分，因为它们包含了数据中的大部分信息。

在这个例子中，我们想要将数据降维到3x1，所以我们只需要选择一个主成分，即选择最大的特征值对应的特征向量。

5.数据投影

最后，我们将原始数据矩阵X投影到选定的主成分上，得到降维后的数据矩阵。

投影公式如下：

其中， 是降维后的数据矩阵， 是最大的特征值对应的特征向量。

二、SVM数学原理