【leetcode 5】最长回文子串, Manachers算法

• 解法一
  枚举每个回文的中心（回文中心可能是一个字符，也可能是两个字符，例子分别是：cac,caac）,从这个回文中心出发向两边扩散，直到扩到不能再扩，记录下该回文中心能够产生的最长回文字符串的起始、终止位置；
  与全局最长回文字符串的起始、终止位置比较，记录下最长回文字符串。

class Solution:
    def expand(self,s,l,r):
        while l>=0 and r<len(s) and s[r]==s[l]:
            l-=1
            r+=1
        return l+1,r-1

    def longestPalindrome(self, s: str) -> str:
        start,end=0,0
        for i in range(len(s)):
            left1,right1=self.expand(s,i,i)
            left2,right2=self.expand(s,i,i+1)
            if right1-left1>end-start:
                start,end=left1,right1
            if right2-left2>end-start:
                start,end=left2,right2
        return s[start:end+1]
    

解法2： Manacher算法

在上面枚举每一个回文中心 向左右两边扩散的解法的基础上，考虑如何复用已经求出来的信息。
现在仅考虑长度为奇数的字符串，
假设以索引j为中心的最长回文字符串（回文字符串的一半的长度为arm_len[j]）已经找到，问如何利用这一信息求之后的索引i作为回文中心时的长度？

对于之后的索引i,

• 首先，求以s[i]为中心时最长回文子串的臂长，记为cur_arm_len；
  这个过程分为两个步骤，
  首先，利用之前索引j的回文臂长信息arm_len[j]和目前最长回文子串能够到达的最远位置right，找到以s[i]为中心且不超过当前已知最长回文子串范围时的回文子串的臂长min_arm_len；（注：如果目前已知的以s[j]为中心的回文子串并不能覆盖i，那么arm_len[j]信息没用，所以可以跳过求min_arm_len这一步骤）
  接着，在min_arm_len的基础上，利用方法self.expand，继续向左右探索以s[i]为中心时可能的回文片段，直到不对称为止，并返回回文臂长。
• 接着，记录以s[i]为中心时最长回文子串的臂长到数组arm_len中；
• 然后，更新最近一次的已知回文中心j和最近一次的回文子串的最大索引right;
• 最后，更新全局变量start,end（最长回文子串的起始、末尾位置）。

class Solution:
    def expand(self,s,l,r):
        while l>=0 and r<len(s) and s[l]==s[r]:
            l-=1
            r+=1
        return (r-l-2)//2  

    def longestPalindrome(self, s: str) -> str:
        start,end=0,0
        s='#'+'#'.join(s)+'#'
        arm_len=[]
        right=-1
        j=-1
        for i in range(len(s)):
            if i<=right:
                i_sym=2*j-i
                min_arm_len=min(right-i,arm_len[i_sym])
                cur_arm_len=self.expand(s,i-min_arm_len,i+min_arm_len)
            else:
                cur_arm_len=self.expand(s,i,i)
            arm_len.append(cur_arm_len)
            if i+cur_arm_len>right:
                right=i+cur_arm_len
                j=i
            if 2*cur_arm_len+1>end-start:
                start,end=i-cur_arm_len,i+cur_arm_len
        return s[start+1:end+1:2]