爬楼梯（进阶版）
题目链接：爬楼梯
题目描述：假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬至多m (1 <= m < n)个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
注意：给定 n 是一个正整数。
解题思路：
这道爬楼梯可以看作是一个完全背包问题，n是背包容量，1-m为物品重量，这个问题就变成求装满背包的方法总数。
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
void slove(int n, int m){
vector<int> dp(n+1,0);
dp[0] =1;
for (int j = 0; j <= n; j++){
for (int i = 1; i <= m; i++){
if (j>=i)
dp[j]+=dp[j-i];
}
}
cout << dp[n];
}
int main(int argc, char *argv[]) {
int n, m;
cin >> n >> m;
slove(n,m);
}
322. 零钱兑换
题目链接：零钱兑换
题目描述：给你一个整数数组
coins，表示不同面额的硬币；以及一个整数amount，表示总金额。计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回
-1。你可以认为每种硬币的数量是无限的。
解题思想：
题目中说每种硬币的数量是无限的，可以看出是典型的完全背包问题。
动规五部曲分析如下：
- 确定dp数组以及下标的含义
dp[j]：凑足总额为j所需钱币的最少个数为dp[j] - 确定递推公式
凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]]，那么只需要加上一个钱币coins[i]即dp[j - coins[i]] + 1就是dp[j]（考虑coins[i]）所以dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] + 1 中最小的。
递推公式：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]); - dp数组如何初始化
首先凑足总金额为0所需钱币的个数一定是0，那么dp[0] = 0; 考虑到递推公式的特性，dp[j]必须初始化为一个最大的数，否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖。 - 确定遍历顺序
本题求钱币最小个数，那么钱币有顺序和没有顺序都可以，都不影响钱币的最小个数。
所以本题并不强调集合是组合还是排列。
如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
本题两种遍历顺序都可以。
class Solution {
public:
int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0;
for (int i = 0; i < coins.size(); i++) {
for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) {
if (dp[j - coins[i]] != INT_MAX) {
dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
}
}
}
if (dp[amount] == INT_MAX)
return -1;
return dp[amount];
}
};
279.完全平方数
题目链接：完全平方数
题目描述：给你一个整数
n，返回 和为n的完全平方数的最少数量 。完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，
1、4、9和16都是完全平方数，而3和11不是。
解题思想：
完全平方数就是物品（可以无限件使用），凑个正整数n就是背包，问凑满这个背包最少有多少物品？这是不是就和上一道题目一样了。
class Solution {
public:
int numSquares(int n) {
vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0;
for (int i = 1; i <= sqrt(n); i++) {
int num = i * i;
for (int j = num; j <= n; j++) {
if (dp[j - num] != INT_MAX)
dp[j] = min(dp[j], dp[j - num] + 1);
}
}
return dp[n];
}
};
