计算方法（第3版）——学习笔记（一）

目录

第1章 引论

1.1 从数学到计算

1.2 误差理论初步

1.2.1 误差的来源

1.2.2 误差的度量

1.2.3 误差的传播

1.2.4 数值稳定性

1.3 数值计算的若干原则

概念比较多，本笔记只用作梳理框架之用，数学公式涉及较少（主要是不好打字）。

第1章 引论

1.1 从数学到计算

数值计算目的：使计算机有效解决科学计算问题。

必须借助计算机的原因：

引例1（5次及以上的代数方程没有求根公式）：某些数学问题在理论上没有解决的方法。要解决此类问题，必须用数值计算方法求其近似值。
引例2（求解n阶线性方程组Ax=b）：某些数学问题在理论上有解决的方法，但在实际中并不实用，必须寻找新的行之有效的计算方法。
引例3（递归公式求I1到I20）：某些数学问题即使在实践中有解决的方法，仍然需要进行误差分析。

科学计算与实验，理论三足鼎立，相辅相成，成为当今科学发现的三大方法。

1.2 误差理论初步

1.2.1 误差的来源

1、模型误差：数学模型的解与实际问题的解之间出现的误差。
2、测量误差：在测量具体数据时产生的误差
3、截断误差（方法误差）：数学模型的准确解与数值计算方法的准确接之间的误差
4、舍入误差：计算机字长的限制而产生的误差。

1.2.2 误差的度量

（1）绝对误差与绝对误差限 定义1.2.1
（2）相对误差与相对误差限 定义1.2.2
（3）有效数字 定义1.2.3

1.2.3 误差的传播

误差的传播是否可以控制，标志着一种数值计算方法的优劣。

1、函数的误差
2、算术运算的误差
和差的误差线不超过各误差限的和，积商的相对误差限不超过各相对误差限的和。

1.2.4 数值稳定性

误差传播能被控制——数值稳定。一定条件下数值稳定——条件稳定；任何条件都稳定——无条件稳定。

1.3 数值计算的若干原则

1、避免两个相近数相减
2、避免用绝对值过小的数作为除数
3、要防止大数吃掉小数
4、简化计算步骤，提高计算效率
5、使用数值稳定的算法