树和二叉树的相关概念

1.树概念及结构

1.1树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点

除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继

每棵树都可以看作根和子树构成的，子树又可以看作根和子树构成的，到叶节点就结束了，因此，树是递归定义的。

如图所示：

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

1.2 树的相关概念

• 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6

• 叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点

• 非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点

• 双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点

• 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点

• 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点

• 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6

• 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

• 树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4

• 堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点

• 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先

• 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

• 森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

1.3 树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的左孩子右兄弟表示法。

typedef int DataType;
struct Node
{
   
	struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
	struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
	DataType _data; // 结点中的数据域
};

如图所示：

所以，我们只要知道左边第一个孩子，就可以依次找到这个孩子的兄弟

2.二叉树概念及结构

2.1概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

1. 或者为空
2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

从上图可以看出：
3. 二叉树不存在度大于2的结点
4. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

2.2 特殊的二叉树：

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

如图所示：

那么高度为h的节点的满二叉树节点的个数是多少呢?

我们很容易发现满二叉树的每层节点的个数是一个等比数列，所以利用等比数列公式或者错位相减我们很容易推导出如图所示的公式

那么高度为h的节点的完全二叉树节点的个数是多少呢?

因为完全二叉树的最后一层最少有一个，所以，我们可以先求处前h-1层的二叉树节点个数再加一，就是完全二叉树的最少节点个数，但完全二叉树最后一层满的时候就是完全二叉树的节点个数最多的时候，也就是满二叉树的节点个数。

2.4 二叉树的存储结构

顺序存储：

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

父子下标关系：

父亲找孩子：

leftchild = parent * 2 + 1;
rightchild = parent * 2 + 2;

孩子找父亲：

parent = (child - 1) / 2;

3.二叉树的顺序结构及实现

3.1 二叉树的顺序结构

普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

结论：完全二叉树才适合用数组存储，因为不是满二叉树可能存在大量的空间浪费。

3.2 堆的概念及结构

如果有一个关键码的集合K = { ， ， ，…， }，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储在一个一维数组中，并满足： <= 且 <= ( >= 且 >= ) i = 0，1，2…，则称为小堆(或大堆)。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

堆的性质：

• 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值
• 堆总是一棵完全二叉树。
  

1.下列关键字序列为堆的是：（A）
A 100,60,70,50,32,65
B 60,70,65,50,32,100
C 65,100,70,32,50,60
D 70,65,100,32,50,60
E 32,50,100,70,65,60
F 50,100,70,65,60,32

这里通过画图方便看出A是堆

3.3 堆的应用

1. 堆排序 — O(N*logN)
2. topk
3. 优先级队列