【算法练习】leetcode算法题合集之动态规划背包问题篇

背包概念

01背包问题

有N件物品和一个最多能背重量为W 的背包。第i件物品的重量是weights[i]，得到的价值是value[i]。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

输入：weight [1,3,4] value：[15,20,30]，最多能背重量总和为4的物品。

dp[i][j]指的是在[0,i]个物品中在容量为j的背包中可选择的最大价值。

如果当前容量是小于weight[i]，那么表示放不下第i个物品，所以dp[i][j] = dp[i - 1][j];

如果当前容量是大于weight[i]，那么表示可以放下第i个物品，所以当前最大价值等于放这个物品的最大价值dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]和不放这个物品dp[i - 1][j]的最大价值。

public class Pack1 {
   
   

    public static void main(String[] args) {
   
   

        int[] weight = {
   
   1, 3, 4};
        int[] value = {
   
   15, 20, 30};
        int bagSize = 4;
        System.out.println(testWeightBagProblem(weight, value, bagSize));

    }

    private static int testWeightBagProblem(int[] weight, int[] value, int bagSize) {
   
   
        int size = weight.length;
        int[][] dp = new int[size][bagSize + 1];

        for (int i = weight[0]; i <= bagSize; i++) {
   
   
            dp[0][i] = value[0];
        }
        for (int i = 1; i < size; i++) {
   
   
            for (int j = 1; j <= bagSize; j++) {
   
   
                if (j < weight[i]) {
   
   
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                } else {
   
   
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
                }
            }
        }
        return dp[size - 1][bagSize];
    }
}

一维思路

为啥不能int j = weight[i]; j <= bagSize; j++，是因为想要的是上一轮的数据。当i-1变成i的时候，计算dp[j]的时候，希望dp[j - weight[i]]是在当前轮次没有计算过的，是dp[i-1][j-weight[i]]。如果j从小到大计算，当计算到最大值的时候，dp[j-weight[i]]已经计算过了，更新成了dp[i][j-weight[i]]。

    private static int testWeightBagProblem2(int[] weight, int[] value, int bagSize) {
   
   
        int size = weight.length;
        int[] dp = new int[bagSize + 1];
        for (int i = 0; i < size; i++) {
   
   
            for (int j = bagSize; j >= weight[i]; j--) {
   
   
//            for (int j = weight[i]; j <= bagSize; j++) {
   
   
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
            }
        }
        return dp[bagSize];
    }

完全背包

完全背包是物品有无数个，可以选几个也可以不选。

如何去理解，01背包从后往前，完全背包从前往后遍历。从后往前获取的永远是dp[i-1][j]的数据，是没有第i个物品的情况下的计算结果。所以dp[j]的计算结果总是物品只能选择单个。

public class Pack2 {
   
   

    public static void main(String[] args)