代码随想录-动态规划专题

        有N件物品和一个最多能背重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

 步骤分为以下五步：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
2. 确定递推公式
3. dp数组如何初始化
4. 确定遍历顺序
5. 举例推导dp数组

509. 斐波那契数 

斐波那契数，通常用 F(n) 表示，形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是： F(0) = 0，F(1) = 1 F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1 给你n ，请计算 F(n) 。

示例 1：

• 输入：2
• 输出：1
• 解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1

int fib(int n){
    if(n<=1){
        return n;
    }
    int dp[n+1];
    dp[0]=0;
    dp[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i){
        dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
    }
    return dp[n];
}

70. 爬楼梯 

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定 n 是一个正整数。

示例 1：

• 输入： 2
• 输出： 2

        dp[i]： 爬到第i层楼梯，有dp[i]种方法 

        首先是dp[i - 1]，上i-1层楼梯，有dp[i - 1]种方法，那么再一步跳一个台阶不就是dp[i]。

        然后是dp[i - 2]，上i-2层楼梯，有dp[i - 2]种方法，那么再一步跳两个台阶不就是dp[i]。

        那么dp[i]就是 dp[i - 1]与dp[i - 2]之和。

        递推公式：dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]

int climbStairs(int n) {
    if(n<=1){
        return n;
    }
    int dp[n+1];
    dp[1]=1;
    dp[2]=2;
    for(int i=3;i<=n;++i){
        dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
    }
    return dp[n];
}

        这道题目还可以继续深化，就是一步一个台阶，两个台阶，三个台阶，直到 m个台阶，有多少种方法爬到n阶楼顶。  

        只需要将第二个循环中的2，换成m，就能用于其他题。

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        vector<int> dp(n+1,0);
        dp[0]=1;
        for(int i=1;i<=n;++i){
            for(int j=1;j<=2;++j){
                if(i-j>=0) dp[i]+=dp[i-j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

746. 使用最小花费爬楼梯

数组的每个下标作为一个阶梯，第 i 个阶梯对应着一个非负数的体力花费值 cost[i]（下标从 0 开始）。每当你爬上一个阶梯你都要花费对应的体力值，一旦支付了相应的体力值，你就可以选择向上爬一个阶梯或者爬两个阶梯。请你找出达到楼层顶部的最低花费。在开始时，你可以选择从下标为 0 或 1 的元素作为初始阶梯。

示例 1：

• 输入：cost = [10, 15, 20]
• 输出：15
• 解释：最低花费是从 cost[1] 开始，然后走两步即可到阶梯顶，一共花费 15 。

int minCostClimbingStairs(int* cost, int costSize) {
    int dp[costSize+1];
    dp[0]=0;
    dp[1]=0;
    for(int i=2;i<=costSize;++i){
        dp[i]=fmin(dp[i-1]+cost[i-1],dp[i-2]+cost[i-2]);
    }
    return dp[costSize];
}