数论与图论

数论🎈

筛质数

最普通的筛法O(nlogn)：

void get_primes2(){
    for(int i=2;i<=n;i++){

        if(!st[i]) primes[cnt++]=i;//把素数存起来
        for(int j=i;j<=n;j+=i){//不管是合数还是质数，都用来筛掉后面它的倍数
            st[j]=true;
        }
    }
}

诶氏筛法 O(nloglogn)：

void get_primes1(){
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!st[i]){
            primes[cnt++]=i;
            for(int j=i;j<=n;j+=i) st[j]=true;//可以用质数就把所有的合数都筛掉；
        }
    }
}

线性筛O(n)

void get_primes(){
    //外层从2~n迭代，因为这毕竟算的是1~n中质数的个数，而不是某个数是不是质数的判定
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!st[i]) primes[cnt++]=i;
        for(int j=0;primes[j]<=n/i;j++){//primes[j]<=n/i:变形一下得到——primes[j]*i<=n,把大于n的合数都筛了就
        //没啥意义了
            st[primes[j]*i]=true;//用最小质因子去筛合数

            //1)当i%primes[j]!=0时,说明此时遍历到的primes[j]不是i的质因子，那么只可能是此时的primes[j]<i的
            //最小质因子,所以primes[j]*i的最小质因子就是primes[j];
            //2)当有i%primes[j]==0时,说明i的最小质因子是primes[j],因此primes[j]*i的最小质因子也就应该是
            //prime[j]，之后接着用st[primes[j+1]*i]=true去筛合数时，就不是用最小质因子去更新了,因为i有最小
            //质因子primes[j]<primes[j+1],此时的primes[j+1]不是primes[j+1]*i的最小质因子，此时就应该
            //退出循环，避免之后重复进行筛选。
            if(i%primes[j]==0) break;
        }
    }

}

试除法判断质数

输入n表示要判断的n个数，接下来输入n个数，判断其是否为质数

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
bool isprime(long long a){
    if(a==1){
        return 0;
    }
    else if(a==2){
        return 1;
    }
    for(int i=2;i<=a/i;i++){//不要用开方或者i*i，开方函数较慢，i*i会越界
        if(a%i==0){
            return 0;
        }
    }
    return 1;
}
int main(){
    cin>>n;
    while(n--){
        long long a;
        cin>>a;
        if(isprime(a)) cout<<"Yes"<<endl;
        else cout<<"No"<<endl;
    }

分解质因数

解题思路：

• x 的质因子最多只包含一个大于 根号x 的质数。如果有两个，这两个因子的乘积就会大于 x，矛盾。
• i 从 2 遍历到 根号x。 用 x / i，如果余数为 0，则 i 是一个质因子。
• s 表示质因子 i 的指数，x /= i 为 0，则 s++， x = x / i 。
• 最后检查是否有大于 根号x 的质因子，如果有，输出。

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

void divide(int x)
{
    for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )//i <= x / i:防止越界，速度大于 i < sqrt(x)
        if (x % i == 0)//i为底数
        {
            int s = 0;//s为指数
            while (x % i == 0) x /= i, s ++ ;
            cout << i << ' ' << s << endl;//输出
        }
    if (x > 1) cout << x << ' ' << 1 << endl;//如果x还有剩余，单独处理
    cout << endl;
}
{
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    while (n -- )
    {
        int x;
        cin >> x;
        divide(x);
    }

    return 0;
}