在Python中调用狄拉克gamma矩阵

狄拉克矩阵

狄拉克矩阵是狄拉克在构建狄拉克方程时引入的矩阵，一般用${\gamma }^{\mu }$来表示，其展开式为

$${\gamma }^{\mu }=({\gamma }^0,\vec{\gamma })=(\beta ,\vec{\alpha })=({\gamma }^0,{\gamma }^1,{\gamma }^2,{\gamma }^3)$$

相应地狄拉克方程表示为

$$(i{\gamma }^{\mu }{\partial }^{\mu }-m)\psi =0$$

其展开形式为

$$i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}=(\frac{\hslash c}{i}\vec{\alpha }\cdot \nabla +\beta m{c}^2)\psi$$

此外，还定义了${\gamma }^5=i{\gamma }^0{\gamma }^1{\gamma }^2{\gamma }^3$。

mgamma

在sympy中提供了mgamma函数，用以生成狄拉克矩阵

from sympy import print_latex
from sympy.physics.matrices import mgamma

for i in range(4):
    print_latex(mgamma(i))

由此得到狄拉克矩阵的具体形式如下

$$\begin{gathered} {\gamma }^0=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right] \\ {\gamma }^1=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ -1& 0& 0& 0\end{array}\right] \\ {\gamma }^2=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& -i\\ 0& 0& i& 0\\ 0& i& 0& 0\\ -i& 0& 0& 0\end{array}\right] \\ {\gamma }^3=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& -1\\ -1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right] \end{gathered}$$

print_latex(mgamma(5))     
\left[\begin{
   matrix}0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\\1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\end{
   matrix}\right]

即

$${\gamma }^5=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right]$$