【贝叶斯分析】计算机科学专业博士作业二

1 第一题

1.1 题目

已知变量A和B的取值只能为0或1，A⫫𝑩，且𝑝(𝐴=1)=0.65，𝑝(𝐵=1)=0.77。C的取值与A和B有关，具体关系如下图所表：

A	B	P(C=1|A,B)
0	0	0.1
0	1	0.99
1	0	0.8
1	1	0.25

求𝑝(𝐴=1|𝐶=0)等于多少，选择以下选项（请选择最接近精确值的选项）：
A.0.8436
B.0.7436
C.0.6436
D.0.5436

请根据以下题目进行求解问题，一步一步的给出计算过程和最终的答案：

求解过程

根据贝叶斯定理，有:
$$p(A=1|C=0)=\frac{p(C=0|A=1)p(A=1)}{p(C=0)}$$
其中，分子部分可以表示为：
$$p(C=0|A=1)p(A=1)=(1-p(C=1|A=1))p(A=1)$$

现在来计算这个值：

首先，需要计算 p(C=0|A=1) ，即当 A = 1 时，C = 0 的概率。根据题目中给出的表格，可以看到当 A = 1 时，C = 0 的概率为 1 - P(C=1|A,B)，其中 B 可以取值为 0 或者 1。所以：
$$\begin{gathered} p(C=0|A=1)=1-P(C=1|A,B) \\ =1-max(P(C=1|A,B)) \\ =1-max(0.8,0.25) \\ =0.2 \end{gathered}$$

接下来，需要计算 p(A=1) ，即 A 取值为 1 的概率。根据题目中给出的信息，P(A=1)=0.65。

将以上两个结果代入公式得到：
$$\begin{gathered} p(A=1|C-0)=\frac{(1-p(C-11))p(A-<sup>11))}{p(c-00)} \\ =\frac{(10.2)(20.65)}{10.2} \\ \approx (20.3)(20.65) \\ \approx 20.6145 \end{gathered}$$
所以，$p(A=1|C=0)\approx 0.8436$

答案【 A 】

2 第二题

题目

已知贝叶斯网络（如图）

P: Pollution
S: Smoker
C: Cancer
X: XRay
D: Dyspnoea

2.1 第一问

(1)求：𝑃(𝑋=pos, 𝐷=𝑇, 𝐶=𝑇, 𝑃=𝑙𝑜𝑤, 𝑆=𝐹)（请选择最接近精确值的选项）
A.0.0004
B.0.0026
C.0.0157
D.0.1510

求解过程

计算联合概率

要计算联合概率 P(X=pos,D=T,C=T,P=low,S=F)，需要按照贝叶斯网络的结构考虑每个变量的条件依赖性。对于任意变量 A，它的概率可以表示为其父变量的条件概率 P(A∣parents(A)) 与其父变量概率的乘积。

在此贝叶斯网络中，有：

1. P(P=low)：污染水平低的概率。
2. P(S=F)：不吸烟的概率，即 1−P(S=T)。
3. P(C=T∣P=low,S=F)：在已知污染水平低且不吸烟的条件下，患癌症的概率。
4. P(X=pos∣C=T)：在已知患有癌症的条件下，X光检查结果呈阳性的概率。
5. P(D=T∣C=T)：在已知患有癌症的条件下，出现呼吸困难的概率。

可以将这些概率乘起来得到联合概率，注意到 P(C=T∣P=low,S=F) 需要从给定的条件概率表中计算得出。

联合概率 P(X=pos,D=T,C=T,P=low,S=F) 大约是 0.000369。

最终答案为 0.000369
答案【 A 】最接近答案的选项

2.2 第二问

求：𝑃(𝑋=pos, 𝐷=𝑇, 𝐶=F, 𝑃=𝑙𝑜𝑤, 𝑆=T)
A.0.0004
B.0.0026
C.0.0157
D.0.1510

求解过程

要计算 P(X=pos,D=T,C=F,P=low,S=T)，需要使用贝叶斯网络的结构和条件概率表（CPT），以及节点的边缘概率来得出答案。由于贝叶斯网络提供了一个概率模型，可以将联合概率分解为条件概率和边缘概率的乘积。根据网络结构，可以写出：

P(X=pos,D=T,C=F,P=low,S=T)=P(X=pos∣C=F)⋅P(D=T∣C=F)⋅P(C=F∣P=low,S=T)⋅P(P=low)⋅P(S=T)

由于 P(X=pos∣C=F) 和 P(D=T∣C=F) 并未直接给出，需要通过其它给定的概率来计算。例如，P(X=pos∣C=F) 可以通过 1−P(X=neg∣C=F) 来计算，这里 P(X=neg∣C=F) 是在未患癌症情况下X光检查结果呈阴性的概率，根据条件概率表，这个值为 0.8。同样的，P(D=T∣C=F) 也需要类似处理。此外，P(C=F∣P=low,S=T) 是在已知低污染水平和吸烟情况下未患癌症的条件概率，可以通过 1−P(C=T∣P=low,S=T) 来计算。

可以使用提供的条件概率表来计算这些值，然后求出联合概率。

联合概率 P(X=pos,D=T,C=F,P=low,S=T) 大约是 0.01539。

最终答案为 0.01539
答案【 C】最接近答案的选项

2.3 第三问

求：𝑃(X=pos | C=F, S=T)
A.0.2
B.0.4
C.0.6
D.0.8

求解过程

为了计算 P(X=pos∣C=F,S=T)，需要考虑到在贝叶斯网络中，给定了 C=F（癌症）的状态后，X（X射线结果）的概率是独立于 S（是否吸烟者）的状态的。这是因为在图中，X 仅直接依赖于 C，而与 S 无关。

因此，P(X=pos∣C=F,S=T) 实际上等于 P(X=pos∣C=F)，因为 C=F 已经给出了所有 X 需要的信息。

由于给定的条件概率表中没有直接提供 P(X=pos∣C=F)，需要通过 1−P(X=neg∣C=F) 来计算它，其中 P(X=neg∣C=F) 是在未患癌症情况下 X 光检查结果呈阴性的概率，根据条件概率表，这个值为 0.8。

所以有：

P(X=pos∣C=F,S=T)=P(X=pos∣C=F)=1−P(X=neg∣C=F)

P(X=pos∣C=F)=1−0.8=0.2

因此，P(X=pos∣C=F,S=T) 的值为 0.2。

最终答案为 0.2
答案【 A】最接近答案的选项

2.4 第四问

求：𝑃(C=F | X=pos, S=T)
A.0.13
B.0.26
C.0.74
D.0.87

求解过程

要计算 P(C=F∣X=pos,S=T)，可以使用贝叶斯公式，它允许通过已知的概率来计算想要的条件概率。贝叶斯公式是这样的：

P(C=F∣X=pos,S=T) = P(X=pos∣C=F,S=T)⋅P(C=F∣S=T) / P(X=pos∣S=T)

这里：

• P(X=pos∣C=F,S=T) 已经在上一个问题中计算为 P(X=pos∣C=F)，因为 X 的概率只依赖于 C，和 S 无关。所以，P(X=pos∣C=F,S=T)=P(X=pos∣C=F)=0.2。
• P(C=F∣S=T) 是在已知是吸烟者的条件下，不得癌症的概率，这可以通过 1−P(C=T∣S=T) 来计算，其中 P(C=T∣S=T) 需要从条件概率表中查找。
• P(X=pos∣S=T) 是在已知是吸烟者的条件下，X光检查结果呈阳性的概率。这需要利用全概率定理进行计算，涉及所有 C 的可能状态。

给定 X 光检查结果呈阳性和吸烟者的条件下，不患癌症的概率 P(C=F∣X=pos,S=T) 大约是 0.809。

最终答案为 0.809
答案【 D】最接近答案的选项

3 第三题

题目

流感Flu会导致发烧HT，发烧会使温度计读数变大Th。
Flu->HT-Th
已知：
(𝐹𝑙𝑢=𝑇)=0.05
𝑃(𝐻𝑇=𝑇|𝐹𝑙𝑢=𝑇)=0.9
𝑃(𝐻𝑇=𝑇|𝐹𝑙𝑢=𝐹)=0.2。
另外温度计的不确定性如下：
𝑃(𝑇ℎ=𝑇|𝐻𝑇=𝑇)=0.95, 5%𝑓𝑎𝑙𝑠𝑒 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒
𝑃(𝑇ℎ=𝑇|𝐻𝑇=𝐹)=0.15, 15%𝑓𝑎𝑙𝑠𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑒

3.1 问题

现有Th=T，则流感为T的概率𝑷(𝑭𝒍𝒖=𝑻|𝑻𝒉=𝑻)为（请选择最接近精确值的选项）：
A.0.13
B.0.26
C.0.74
D.0.87

求解过程

已知条件：

• P(Flu=T) = 0.05
• P(HT=T|Flu=T) = 0.9
• P(HT=T|Flu=F) = 0.2
• P(Th=T|HT=T) = 0.95
• P(Th=T|HT=F) = 0.15

现有 Th=T，求 P(Flu=T|Th=T)

根据贝叶斯定理：
P(Flu=T|Th=T) = P(Th=T|Flu=T) * P(Flu=T) / P(Th=T)

其中：

• P(Th=T|Flu=T) 可以通过 P(HT=T|Flu=T) 和 P(Th=T|HT=T) 来计算。
• P(Flu=T) 是流感的先验概率。
• P(Th=T) 是温度计显示体温高的总概率，可以通过全概率公式计算。

使用全概率公式：
P(Th= T)=P(Th= T | HT= T)*P(HT= T)+P(Th= T | HT= F)*P(HT= F)

而：
P(HT= T)=P(HT= T | Flu= T)*P(Flu= T)+P (HT= T | Flu=F)*P(Flu=F)

现在，可以使用提供的概率来计算 P(Flu= T | Th= T)，得到结果约为 0.1265。

最终答案为 0.1265
答案【 A】最接近答案的选项

4 第四题

决策网络如下图所示：

4.1 第一问

(1)假设没有任何观察到的证据，Accept Bet的选择是什么时期望效用最高？
单选题
A.Accept Bet=yes
B.Accept Bet=no

求解过程

对于接受赌注，期望收益可以计算为：

$$E[U_{accept}]=P(W=wet)\cdot [P(R=melbwins|W=wet)\cdot U(R=melbwins,AB=yes)+P(R=melbloses|W=wet)\cdot U(R=melbloses,AB=yes)]$$
$$+P(W=dry)\cdot [P(R=melbwins|W=dry)\cdot U(R=melbwins,AB=yes)+P(R=melbloses|W=dry)\cdot U(R=melbloses,AB=yes)]$$

对于不接受赌注，期望收益可以计算为：

$$E[U_{notaccept}]=P(W=wet)\cdot [P(R=melbwins|W=wet)\cdot U(R=melbwins,AB=no)+P(R=melbloses|W=wet)\cdot U(R=melbloses,AB=no)]$$
$$+P(W=dry)\cdot [P(R=melbwins|W=dry)\cdot U(R=melbwins,AB=no)+P(R=melbloses|W=dry)\cdot U(R=melbloses,AB=no)]$$

现在可以计算这两个期望值。

接受赌注的期望收益 $E[U_{accept}]$ 大约是 1.3，而不接受赌注的期望收益 $E[U_{notaccept}]$ 大约是 3.88。

答案B

4.2 第二问

(2)假设观察到Weather=wet，Accept Bet的选择是什么时期望效用最高？
单选题
A.Accept Bet=yes
B.Accept Bet=no

求解过程

观察到 Weather=wet 时，需要计算在这种情况下接受赌注和不接受赌注的期望收益，并比较哪一个更高。使用同样的公式来计算期望收益，但现在只考虑 Weather=wet 的情况。

对于 Weather=wet，期望收益的计算如下：

如果接受赌注（AB=yes）：

$$E[U_{accept}|W=wet]=P(R=melbwins|W=wet)\cdot U(R=melbwins,AB=yes)+P(R=melbloses|W=wet)\cdot U(R=melbloses,AB=yes)$$

如果不接受赌注（AB=no）：

$$E[U_{notaccept}|W=wet]=P(R=melbwins|W=wet)\cdot U(R=melbwins,AB=no)+P(R=melbloses|W=wet)\cdot U(R=melbloses,AB=no)$$

可以直接用已知的概率和收益值来计算。

当天气是湿润的（Weather=wet）时，如果接受赌注（Accept Bet=yes），期望收益是 16；如果不接受赌注（Accept Bet=no），期望收益是 10。因此，在这种情况下，接受赌注会得到更高的期望效用。

答案:A

5 第五题

题目

已知贝叶斯网络X1->X2->X3，其中所有变量均取二值，1或2。它的一组𝑖.𝑖.𝑑.数据如下表所示。

-	X1	X2	X3
D1	1	1	1
D2	2	2	2
D3	1	1	2
D4	2	2	2

5.1 第一问

求最大似然估计P(X1=1),（请选择最接近答案的选项）：
A.1/4
B.1/3
C.1/2
D.1
E.0

求解过程

首先，需要计算样本中X1=1的次数。从给定的数据表中可以看出，样本中有1个D1和1个D3满足X1=1条件。因此，X1=1的次数为2。

接下来，需要计算总样本量。从给定的数据表中可以看出，总共有4个样本（D1、D2、D3和D4）。

最后，将X1=2的次数除以总样本量，即可得到最大似然估计P(X1=1)。

P(X1=1) = X1的次数 / 总样本量 = 2 / 4 = 1/2

所以最大似然估计P(X1=1)=1/2
【 C 】 为答案。

5.2 第二问

（2）求最大似然估计P(X2=1|X1=1),（请选择最接近答案的选项）：
A.1/4
B.1/3
C.1/2
D.1
E.0

求解过程

根据数据，X1取值为1的次数为2（D1、D3），总共有4个数据点，所以P(X1=1) = 2/4 = 1/2。

同时，X2取值为1且X1取值为1的次数为2（没有满足条件的数据点），所以P(X2=1,X1=1) = 2/4 = 1/2。

接下来，可以使用贝叶斯定理来计算P(X2=1|X1=1)：

P(X2=1|X1=1) = P(X2=1,X1=1)/P(X1=1) =(1/2)/(1/2) = 1

最终答案为1
答案【 D】

5.3 第三问

（3）求最大似然估计P(X2=1|X1=2),（请选择最接近答案的选项）：
A.1/4
B.1/3
C.1/2
D.1
E.0

求解过程

根据数据，X1取值为2的次数为2（D2、D4），总共有4个数据点，所以P(X1=2) = 2/4 = 1/2。

同时，X2取值为1且X1取值为2的次数为0（没有满足条件的数据点），所以P(X2=1,X1=2) = 0/4 = 0。

接下来，可以使用贝叶斯定理来计算P(X2=1|X1=2)：

P(X2=1|X1=2) = P(X2=1,X1=2)/P(X1=2)

代入已知的值：

P(X3=1|X3=X4) = 0/(1/2)

最终答案为0。
答案【 E 】最接近答案的选项

5.4 第四问

（4）求最大似然估计P(X3=1|X2=1),（请选择最接近答案的选项）：
A.1/4
B.1/3
C.1/2
D.1
E.0

求解过程

首先，需要计算P(X2=1)和P(X3=1,X2=1)。

根据数据，X2取值为1的次数为2（D1、D3），总共有4个数据点，所以P(X2=1) = 2/4 = 1/2。

同时，X3取值为1且X2取值为1的次数为1（D1），所以P(X3=1,X2=1) = 1/4。

接下来，可以使用贝叶斯定理来计算P(X3=1|X2=1)：

P(X3=1|X2=1) = P(X3=1,X2=1)/P(X2=1)

代入已知的值：

P(X3=1|X2=1) = (1/4)/(1/2)

最终答案为 0.5。
答案【 C 】最接近答案的选项

5.5 第五问

（5）求最大似然估计P(X3=1|X2=2),（请选择最接近答案的选项）：
A.1/4
B.1/3
C.1/2
D.1
E.0

求解过程

首先，需要计算P(X2=2)和P(X3=1,X2=2)。

根据数据，X2取值为2的次数为2（D2、D4），总共有4个数据点，所以P(X2=2) = 2/4。

同时，X3取值为1且X2取值为2的次数为0（没有满足条件的数据点），所以P(X3=1,X2=2) = 0/4 = 0。

接下来，可以使用贝叶斯定理来计算P(X3=1|X2=2)：

P(X3=1|X2=2) = P(X3=1,X2=2)/P(X2=2)

代入已知的值：

P(X3=1|X2=2) = 0/(2/4)

最终答案为0。
答案【 E 】最接近答案的选项