POJ 3420 Quad Tiling 动态规划（矩阵的幂）

一、题目大意

我们要用 1 * 2的砖块，铺满 4 * N 大小的矩形（1 ≤ N ≤ 1000000000) ，求方案数？

二、解题思路

设铺满前 i 列的排列数有 Si种，那么考虑 Si 的计算方式。

不难看出，我们在排版最后一列时，只需要考虑前一列的排版方式即可，我经过计算，发现有5种排列方式。

那么我们只需要知道把第 i - 1 列摆放成上图中5种黑色砖块的方案数，就能够计算出摆满 i 列的方案数。

我们可以给每种情况设置一个未知数，见下图。

则 Si = Ai-1 + Bi-1 + Ci-1 + Di-1 + Ei-1

同时我们只要计算出第 i 列摆放成上图中5种黑色砖块的排列数，就可以计算出前 i + 1 列排满的方案数。

不难看出

Ai = Si = Ai-1 + Bi-1 + Ci-1 + Di-1 + Ei-1

Bi = Di-1 + Ai-1

Di = Ai-1 + Bi-1

Ei = Ai

计算Ci 时，我们需要考虑上一行的这种情况。

Ci = Ai-1 + Fi-1

同时

Fi = Ci-1

那么有如下矩阵成立。

其中A[N]就是答案。

（备注：A[1]=B[1]=C[1]=D[1]=E[1]=1，F[1]=0）

三、代码

#include <istream>
#include <vector>
using namespace std;
typedef vector<int> vec;
typedef vector<vec> mat;
int N, M;
mat mul(mat &A, mat &B)
{
    mat C = mat(A.size(), vec(B[0].size()));
    for (int i = 0; i < A.size(); i++)
    {
        for (int j = 0; j < B[0].size(); j++)
        {
            for (int k = 0; k < B.size(); k++)
            {
                C[i][j] = (C[i][j] + A[i][k] * B[k][j]) % M;
            }
        }
    }
    return C;
}
mat pow(mat &A, int N)
{
    mat B = mat(A.size(), vec(A[0].size()));
    for (int i = 0; i < B.size(); i++)
    {
        B[i][i] = 1;
    }
    while (N > 0)
    {
        if (N & 1)
        {
            B = mul(B, A);
        }
        A = mul(A, A);
        N >>= 1;
    }
    return B;
}
void solve()
{
    mat A = mat(6, vec(6));
    A[0][0] = A[0][1] = A[0][2] = A[0][3] = A[0][4] = 1;
    A[1][0] = A[1][3] = 1;
    A[2][0] = A[2][5] = 1;
    A[3][0] = A[3][1] = 1;
    A[4][0] = 1;
    A[5][2] = 1;
    mat B = mat(6, vec(1));
    B[0][0] = B[1][0] = B[2][0] = B[3][0] = B[4][0] = 1;
    A = pow(A, N - 1);
    B = mul(A, B);
    printf("%d\n", B[0][0]);
}
int main()
{
    while (true)
    {
        scanf("%d%d", &N, &M);
        if (N == 0 && M == 0)
        {
            break;
        }
        solve();
    }
    return 0;
}